Question

判断并证明函数f(x)=x的三次方+a,(a∈R,a是常数)的单调性

需要详细过程，谢谢

Answer 1

1.求导会很简单，f'(x)=3x² ,x²恒不为负，所以f'(x)在R上单调递增。
2.用定义法证明，设x1<x2,f(x2)-f(x1)=x2³-x1³, 因为x1<x2, 所以，0≤x1²<x2²,分类讨论，1.0<x1<x2,上面两式子相乘，可得x1³<x2³, 2. x1<0<x2, x1³<0<x2³, 3. x1<x2<0,x1<x2,式子只需同乘x2²,就有，x1³<x1x2²<x2 ³, 最终都可以得到 x2³-x1³>0，过程稍微麻烦，但要证明我想不能用幂函数性质等一些由此函数f(x)=x³导出的其他东西。

Answer 2

判断：f(x)=x³+a是增函数。
设，x1<x2
f(x1)-f(x2)
=x1³-x2²
=(x1-x2)(x1²+x2²+x1*x2)
=(x1-x2)[(x1+x2/2)²+3x2²/4]<0
即是，f(x1)<f(x2)
因此，f(x)=x³+a是单调递增的函数。

Answer 3

是增函数
x1<x2
f(x1)-f(x2)
=x1³+a-x2³-a
=(x1-x2)(x1+x1x2+x2²)
=(x1-x2)[(x1+x2/2)²-3x2²/4]
x1-x2<0,(x1+x2/2)²-3x2²/4>0
所以
x1<x2，f(x1)<f(x2)
增函数

Answer 4

1.求导会很简单，f'(x)=3x²
,x²恒不为负，所以f'(x)在R上单调递增。
2.用定义法证明，设x1
0，过程稍微麻烦，但要证明我想不能用幂函数性质等一些由此函数f(x)=x³导出的其他东西。

Answer 5

这个函数在(-∞，+∞)是单增函数