Question

奇函数f(x)的定义域为R,[0，＋∞）上为增函数，当0≤θ≤π/2时,是否存在实数m

使f（cos2θ-3）+f（4m-2mcosθ）>f（0）对所有θ∈[0,π/2]均成立？求适合的所有实数m

Answer 1

由题意，f(x)在x=0处有定义且在[0,+∞)上是增函数，

故f(x)在(－∞,+∞)上连续且为增函数

由f(0)=-f(-0)，得f(0)=0

f(cos2θ-3)+f(4m-2mcosθ)＞f(0)=0

移向变形得

f(cos2θ-3)>-f(4m-2mcosθ)=f(2mcosθ-4m)

∴由f(x)(－∞,+∞)上连续且为增函数,得

cos2θ-3>2mcosθ-4m

2cos²θ-4-2mcosθ+4m>0

cos²θ-mcosθ+(2m-2)>0

根据题意，θ∈[0，π/2]时，cosθ∈[0，1]

令t=cosθ∈[0，1]

则，题目变成t∈[0，1]时，t²-mt+(2m-2)>0恒成立，求m的取值范围

令f(t)=t²-mt+(2m-2)，此函数对应的抛物线开口向上，对称轴t=m/2,

分类讨论：

①当此抛物线对称轴t=m/2在区间[0，1]内时，m∈[0，2],

函数最小值(2m-2)-m²/4>0即可，此时m²-8m+8<0,

∴4-2√2<m≤2

②当对称轴在(－∞，0)时，m<0,

只要f(0)>0即可，此时2m-2>0,推出m>1，与m<0矛盾，此情况不成立，舍去

③当对称轴在(1,＋∞)时，m>2,

只要f(1)>0即可，此时1-m+2m-2=m-1>0，推出m>1，

∴m>2

综上所述，m的取值范围是(4-2√2,+∞)

Answer 2

我是来打酱油的，围观答案。

Answer 3

0<x1<x2，0>-x1>-x2 f(x1)<f(x2) -f(-x1)<-f(-x2) f(-x1)>f(-x2) 所以f(x)在R上是增函数。f(0)=0
f（cos2θ-3）+f（4m-2mcosθ）>f（0）=0
f（4m-2mcosθ）>-f（cos2θ-3）=f(3-cos2θ)
4m-2mcosθ> 3-cos2θ 2cos²θ -2mcosθ+4m-4>0 cos²θ -mcosθ+2m-2>0
Δ=m²-8m+8 0≤θ≤π/2 0=<cosθ<=1
(1) m²-8m+8>=0 m<=4-2√2或者m>=4+2√2时，cosθ<(m-√(m²-8m+8))/2或者cosθ>(m+√(m²-8m+8))/2，即(m-√(m²-8m+8))/2<=1 (m-2)²<=m²-8m+8 m<=1或者(m+√(m²-8m+8))/2>=0
m<=1 所以m<=1
(2) m²-8m+8<0 4-2√2<m<4+2√2时，不论cosθ为何值，cos²θ -mcosθ+2m-2>0恒成立。所以
4-2√2<m<4+2√2
综述，当m<=1或者4-2√2<m<4+2√2时，能使f（cos2θ-3）+f（4m-2mcosθ）>f（0）对所有θ∈[0,π/2]均成立。