Question

如图p为正方形ABCD内一点若pA=a,PB=2a,PC=3a(a>0) 求(1)角APB=？(2)正形边长

Answer 1

分析，
设边长为x，∠ABP=y，
根据余弦定理，
cosy=[(2a)²+x²-a²]/(2*2a*x)
=(3a²+x²)/(4ax)
siny=cos(π/2-y)=[(2a)²+x²-(3a)²]/(2*2ax)
=(x²-5x²)/(4ax)
另外，cos²y+sin²y=1
∴x^4-10a²x²+17a^4
解出，x²=(5-2√2)*a²或(5+2√2)*a²
cos∠APB=(5a²-x²)/(4a²)
当x²=(5-2√2)a²时，2x²=(10-4√2)a²<(3a)²=9a²
此时，P点在正方形外，P不在正方形内，舍去。
当x²=(5+2√2)a²时，cos∠APB=-√2/2，
∴∠APB=135º
边长=√(5+2√2)a，∠APB=135º。

【以上的做法很麻烦】
另外的做法：
利用旋转比较简单：
将△APB绕点B旋转90°，P点旋转到M点，此时A点和C点重合。
∴BP=BM=2a，且∠PBM=90º
∴PM=2√2a，∠BMP=45º，
又，PA=a，PC=3a²
∴PC²=PM²+MC²
∴∠PMC=90º
∠BMC=∠BMP+∠PMC=135º
又，∠APB=∠BMC=135º
余弦定理，
AB²=PA²+PB²-2PA*PB*cos∠APB
=(5+2√2)a²
∴边长=√(5+2√2)a

Answer 2

（图形上传达上限，见谅！）
（1）将△PBC绕点B逆时针旋转90°得△P'BA，
∴P'B=PB=2a, P'A=PC=3a, ∠P'BP=90°，
∴P‘P²=8a²，∠P'PB=45°
∴P'P²+AP²=P'A²，
∴∠APP'=90°，
∴∠APB=135°

（2）作BH⊥AP，交AP延长线于H，
则∠HPB=∠HBP=45°，又∵PB=2a,
∴BH=PH=(根号2)a
∴AH=AP+PH=(根号2+1)a
∴AB=根号(AH²+BH²)=根号(5+2根号2)