Question

初三数学题，求解

如图所示，三角形ABC是直角三角形，角ABC=90度，以AB为直径的圆O交AC于点E，点D是BC边上的高，连接DE。
（1）求证：DE与圆O相切;
(2）若圆O的半径为根号三，DE=3，求AE。

Answer 1

D是BC边上的高？高怎么可能是一个点？是中点吧？
我们连接BE，则显然BE垂直AC
D为直角三角形BEC斜边BC中点，所以DE=DC=BD
所以角DEC=角C=角ABE
所以根据外切角等于内对角得到DE为圆切线

三角形AEB和三角形ABC相似，所以AE/AB=AB/AC
BC=2DE=6, AB=2根号3，所以AC=根号(6^2 +12) = 4根号3
AE＝AB*AB/AC带入即可

Answer 2

连接BE，则显然BE垂直AC
D为直角三角形BEC斜边BC中点，所以DE=DC=BD
所以角DEC=角C=角ABE
根据外切角等于内对角得到DE为圆切线

Answer 3

题目应为：点D是BC边的中点

（1）证明：连接BE，OE
∵点D为BC的中点
∴BD=DE=DC
∴∠EBD=∠EDB
∵OB=OE ∴∠OBE=∠OEB
∵∠ABC=90° 即∠OBE+∠EBD=90°
∴∠DEB+∠OEB=90°
∴DE与圆O相切

（2）
∵OE=根号3,DE=3
在直角三角形ODE中，由勾股定理的OD=2倍根号3
则∠DOE=∠DOB=60°
即∠EOA=60°
易得三角形AOE为正三角形，
AE=OE=根号3

Answer 4

（1）首先，D点应该是中点
联结OE和BE
根据圆的半径相等可以得出∠OBE=∠OEB,∠BAE=∠AEB
根据三角形内角和得出∠AEB=90°（∠AEO+∠BAE+∠OEB+∠OBE=180°）
所以∠BEC=90°
因为D点是中点
所以DE=DC=BD
所以∠EBD=∠EDB,∠DEC=∠DCE
设∠OBE=α=∠OEB
则∠EBD=∠BED=90-α,
所以∠OED=90
所以DE是圆的切线

（2）因为AO=BO=OE=根号3
DE=DC=BD=3
所以AB=2根号3
BC=6
所以∠ACB=30°（特殊三角比逆用）
∠EBC=60°
所以∠ABE=30°
所以∠BAE=60°
所以AE=根号3