Question

求第一题中第二小问中数列cn的前n项和tn

Answer 1

1.
(1)
b1=a2-a1=2-1=1
b(n+1)=3bn
b(n+1)/bn=3，为定值。
数列{bn}是以1为首项，3为公比的等比数列。
bn=1×3^(n-1)=3^(n-1)
数列{bn}的通项公式为bn=3^(n-1)
(2)
a(n+1)-an=3^(n-1)
an-a(n-1)=3^(n-2)
a(n-1)-a(n-2)=3^(n-3)
…………
a2-a1=3^0
累加
an-a1=3^0+3^1+...+3^(n-2)=1×[3^(n-1) -1]/(3-1)=[3^(n-1) -1]/2
an=a1+ [3^(n-1) -1]/2= 1 +[3^(n-1) -1]/2=[3^(n-1) +1]/2
2a(n+1) -1=2[(3ⁿ+1)/2] -1=3ⁿ
cn=bn -log3[2a(n+1) -1]=3^(n-1) -log3(3ⁿ)=3^(n-1) -n
Tn=c1+c2+...+cn
=[3^0+3^1+...+3^(n-1)] -(1+2+...+n)
=1×(3ⁿ-1)/2 -n(n+1)/2
=3ⁿ/2 -n(n+1)/2 -1/2

2.
(1)
n=1时，2Sn=2a1=1-a1
3a1=1 a1=1/3
n≥2时，2Sn=1-an 2S(n-1)=1-a(n-1)
2Sn-2S(n-1)=2an=1-an -1+a(n-1)
3an=a(n-1)
an/a(n-1)=1/3，为定值。
数列{an}是以1/3为首项，1/3为公比的等比数列。
an=(1/3)(1/3)^(n-1)=1/3ⁿ
数列{an}的通项公式为an=1/3ⁿ
(2)
bn=log(1/3)(an)=log(1/3)(1/3ⁿ)=n
Tn=b1+b2+...+bn=1+2+...+n=n(n+1)/2