Question

同样是求极限，为什么前者就可以直接用等价无穷小替代，而后者不可以，求解释。谢谢。

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Answer 1

这个问题要解释清楚需要用泰勒展开，原因是这样的：

先看两个简单的例子lim[x→0] (x+x²)/sinx，lim[x→0] (x+3x²)/sinx
这两个很简单的极限题，你会发现虽然他们的分子是不同的，但最终极限一样，为什么呢？原因就是当x→0时，其实起决定性作用的就是次数最低的那一项，至于x²，由于次数较高，它有没有系数对极限都是没影响的；

（1）下面看你给的第一题：分母是sin3x，泰勒展开后次数最低项为3x，因此这一项在求极限时起决定性作用，后面的项均为高次，不起作用，因此分母可直接换成3x，这其实就是等价无穷小代换的原理；
下面看分子，tan5x的泰勒展式可能你不知道，但我们现在只需要第一项，用sin5x/cos5x，分子分母都用泰勒展式的第一项算一下，就能看出，tan5x的泰勒展式第一项是5x，而后面的-cosx的泰勒展式虽然第一项是-1，但正好与题目中的1消去了，所以需要看第二项，第二项是(1/2)x²，这就是为什么1-cosx的等价无穷小是(1/2)x²的原因。
综上，分子次数最低的项就是5x，因此本题可直接写为：lim 5x/(3x)
当然如果你写成：lim (5x+(1/2)x²)/(3x)，也是没问题的，因为那个(1/2)x²是没用的。
综上这个题可以用等价无穷小代换。

（2）看第二题：分子，tanx展式的第一项是x，sinx展式的第一项也是x，它们相减刚好消去了，因此这时起决定性作用的已经不是x了，而应当是它们的下一项，也就是说由于x的消失，使得下一项升格为次数最低的项，成为了起决定性作用的，但是你在等价无穷小代换中把这个起决定性作用的项扔掉了，所以是不对的。

如果你看懂了上面写的，现在你是不是可以自己推广一下等价无穷小代换的使用范围：主要看代换后的项是否在加减运算中消失了，如果没消失就可以用等价无穷小代换，如果消失了，就不能用了，因为这时它们的下一项是起决定性作用的。

比如：lim (tanx+sinx)/x 就可以用等价无穷小代换，而 lim (x-sinx)/x³ 就不可以用。

希望可以帮到你，不明白可以追问，如果解决了问题，请点下面的"选为满意回答"按钮，谢谢。

Answer 2

乘和除可以无穷小替换
加和减都不行
书上有问题
为什么一可以是因为分母是被x阶主导的，等效替换一般都是O(x^2)阶的，所以不影响
其次分子替换后≠0
而第二个替换了得到0，但是分母是O(x^3)的，显然分子没有展开充分，这里只展到O(x)

正确做法都是0/0，所以洛必达
只有乘和除的时候可以用等价无穷小,谨记

Answer 3

替代的时候一定是分子或者分母整体替代，要注意的是，整体。
第一题可以替代分母，替代之后变成几部分的代数和，从而计算出结果。
第二题分母不需要替代，分子必须化成乘积形式，比如提出sinx，才可以替代。