Question

已知△ABC的三边为a,b,c,关于x的方程x²-2（a+b)x+c²+2ab=0有两个相等的实数根，又SinA、SinB

已知△ABC的三边为a,b,c,关于x的方程x²-2（a+b)x+c²+2ab=0有两个相等的实数根，又SinA、SinB是关于x的方程（m+5）x²-（2m-5)x+m-8=0的两个实数根，求M的值。谢谢要解题过程和思路，非常感谢！

Answer 1

∵x²-2（a+b)x+c²+2ab=0有两个相等的实数根，
∴△=0，即[-2（a+b)]²-4（c²+2ab）=0
化简得a²+b²=c²，
∴△ABC是直角三角形，且∠C=90°，
∴Sin²A+Sin²B=(SinA+SinB)²-2SinA*SinB=1
由另一方程的SinA+SinB=（2m-5)/(m+5), SinA*SinB=(m-8)/(m+5)
∴[(2m-5)/(m+5)]²-2*(m-8)/(m+5)=1
去分母化简得m²-24m+80=0,
解得m1=4 , m2=20
经检验，m=4时m-8<0，不符题意，
∴m=20

追问

您好，为什么Sin²A+Sin²B=(SinA+SinB)²-2SinA*SinB=1
SinA+SinB=（2m-5)/(m+5), SinA*SinB=(m-8)/(m+5）这是利用韦达定理是吗？不好意思才学

追答

该题就是考查韦达定理得应用。
Sin²A+Sin²B=(SinA+SinB)²-2SinA*SinB=1的推导可以通过整式的乘法公式(a+b)²=a²+2ab+b²

Answer 2

x²-2（a+b)x+c²+2ab=0有两个相等的实数根，
△=4（a+b)^2-4(c^2+2ab)
=4a^2+8ab+4b^2-4c^2-8ab
=4(a^2+b^2-c^2)=0
a^2+b^2=c^2
直角三角形
A+B=90
又SinA、SinB是关于x的方程（m+5）x²-（2m-5)x+m-8=0的两个实数根，求M的值。
sinA+sinB=（2m-5)/（m+5） (sinA+sinB)^2=[(2m-5)/(m+5)]^2
1+2sinA*sinB==[(2m-5)/(m+5)]^2

sinA*sinB=（m-8）/(m+5)
1+2(m-8)/(m+5)=[(2m-5)/(m+5)]^2
(m+5)^2+2(m+5)（m-8)=(2m-5)^2
3m^2+4m-55=4m^2-20m+25
m^2-24m+80=0
m=20,m=4(舍去）

追问

非常感谢您！您的思路也非常好，辛苦了，不好意思。

追答

也给评论啊