Question

是否存在常数abc 使得等式1*(n^2 -1^2)+2*(n^2 -2^2)+…+n*(n^2 -n^2)=an^4+bn^2

是否存在常数abc 使得等式1*(n^2 -1^2)+2*(n^2 -2^2)+…+n*(n^2 -n^2)=an^4+bn^2 +c 对一切正整数n都成立？证明你的结论 (这是关于数学归纳法的)

Answer 1

证明
1*(n^2 -1^2)+2*(n^2 -2^2)+…+n*(n^2 -n^2)
=(1+2+...+n)*n^2-(1^3+2^3+3^3+...+n^3)
=n^3(n+1)/2-n^2(n+1)^2/4
=n^2(n+1)(n/2-n/4-1/4)
=n^2(n+1)(n-1)/4
=1/4(n^4-n^2)
所以 a=1/4 b=1/4 c=0
存在常数abc 使得等式1*(n^2 -1^2)+2*(n^2 -2^2)+…+n*(n^2 -n^2)=an^4+bn^2 +c 对一切正整数n都成立
数学归纳法证明
证明 当n=1时 1^2-1^2=1/4(1^4-1^2)=0成立
假设当n=k时
(k^2-1^2)+2(k^2-2^2)+...+k(k^2-k^2)=1/4(k^4-k^2)成立
那么当n=k+1时
[(k+1)^2-1^2]+2[(k+1)^2-2^2]+...+(k+1)[(k+1)^2-(k+1)^2]
=(1+2+...+k+1)(k+1)^2-[1+2^3+3^3+...+(k+1)^3]
=k(k+1)^2(k+2)/4
=1/4(k+1-1)(k+1+1)(k+1)^2
=1/4(k+1)^2[(k+1)^2-1]
=1/4[(k+1)^4-(k+1)^2]
所以 当n=k+1时也成立 n对一切正整数n都成立。