Question

数学动点问题(关于三角形)

在等腰三角形ACB中,AC=BC=5,AB=8,D为底边AB上一动点(不与A、B重合),DE垂直于AC,DF垂直于BC,垂足分别为E、F,求DE+DF的长。
图见http://zhidao.baidu.com/question/181074271.html
假如说题目中没有给出DE+DF是个定值，那么应该怎么证明DE+DF不变？除了该网站中给的方法，还有别的方法么？

Answer 1

解：还可以利用三角函数的知识来证明DE+DF是定值
如图有：DE=AD*sinA，DF=BD*sinB
而 角A=角B，
即sinA=sinB，
故DE+DF=AD*sinA+BD*sinB
=(AD+BD)*sinA
=AB*sinA
=8*sinA
由于角A不变，即DE+DF为定值，
利用正余弦知识或构造直角三角形即可求出sinA的值为0.6，
亦即DE+DF=0.6*8=4.8。

不过利用面积法证明该题并求其值是最为简便易懂的方法。

追问

为什么角A=角B，那么sinA=sinB？
“利用正余弦知识或构造直角三角形即可求出sinA的值为0.6，”能讲的再详细些吗？？
主要我没学过三角函数，只了解最基本的，所以希望你能写详细些，谢谢

追答

三角形ABC是等腰三角形，当然有两底角相等，即角A =角B；

而y=sinx就是一个函数，其基本定义为：对于任意一个锐角α，sinα定义为在有一个角为α的直角三角形中，该α角所对的边与斜边的比值，当然在你以后的学习中，角α的值可以推广到任意度数；

角的度数就是x所取的值，对于同一个函数，当自变量x的值相同时，对应的函数值y当然相同；

对于该题，过定点C做底边AB的垂线，设垂足为E，则由等腰三角形的性质可知E也是AB的中点，即AE=4，又AC=5，由勾股定理有CE=3，
故在直角三角形ACE中，sin角A=CE/AC=0.6

追问

如果不用三角函数，用简单的证法，怎么证DE+DF为定值？
还有就是角相等，怎么证明角所对的边与斜边的比值相等？

追答

三角函数是解决这一道题的一种方法，而对于这道题，面积法证明DE+DF为定值是最为简单的，其他的方法都不会比这个方法简单；

以后你学习了相似三角形的知识之后就会明白为什么同一角所对的边与斜边的比值相等，这里无需赘述。