Question

一道数学题，关于对数的，求高手解答。

1已知f（x）=lg2x/ax+b，且f（1）=0，当x大于零时，恒有f（x）-f（1/x）=lgx
（1）求f（x）的解析式
（2）若方程f（x）=lg（m+x）的解集是空集，求实数m的取值范围

Answer 1

解：（1）
f（x）=lg2x/（ax+b），f（1/x）=lg（2/x)/(a/x +b)=lg2/(a+bx)
∴f（x）-f（1/x）=lg2x/（ax+b）-lg2/(a+bx)
=lg(2x/（ax+b）)/(2/(a+bx))=lgx （对数的性质）
∴(2x/（ax+b）)/(2/(a+bx))=x
化简得（a-b)x=a-b
∵当x大于零时，恒有f（x）-f（1/x）=lgx
∴只有当a=b时成立，故a=b ①
又∵f（1）=0，代入得2/(a+b)=1,即a+b=2 ②
由① ②两式可得a=b=1,
故f（x）=lg2x/（x+1)

（2）
f（x）=lg（m+x）
∴lg（2x/x+1)=lg（m+x）
即2x/x+1=m+x的解集是空集
化简得x^2+(m-1)x+m=0的解集是空集
故△<0
即m^2-6m+1<0
解之3-2倍根2<m<3+2倍根2

嘿嘿，我也不知道做的对不对，不好意思，我不会输根号，凑合看吧！