Question

把下列多项式因式分解。

1.（x²+2x+1）（x²+2x+2）-12
2. 7（x-1）²+4（x-1）（y+2)-20（y+2)²
3.x³-9x+8
详细步骤

Answer 1

1.（x²+2x+1）（x²+2x+2）-12
=（x²+2x+1）（x²+2x+1+1）-12
=（x²+2x+1）²+（x²+2x+1）-12
=（x²+2x+1+4）（x²+2x+1-3）
=（x²+2x+5）（x²+2x-2）
有理数范围内无法分解
=（x²+2x+5）（x²+2x+1-3）
=（x²+2x+5）[（x+1）²-3]
=（x²+2x+5）[（x+1+√3）（x+1-√3）]
实数范围内无法分解
=（x²+2x+1+4）（x+1+√3）（x+1-√3）
=[（x+1）²+4]（x+1+√3）（x+1-√3）
=（x+1+2i）（x+1-2i）（x+1+√3）（x+1-√3）

2. 7（x-1）²+4（x-1）
=（x-1）[7（x-1）+4]
=（x-1）（7x-7+4）
=（x-1）（7x-3）

（y+2)-20（y+2)²
=（y+2）[1-20（y+2）]
=（y+2）（1-20y-40）
=-（y+2）（20y+39）

3. x³-9x+8
= x³-x²+x²-x-8x+8
= x²（x-1）+x（x-1）-8（x-1）
=（x-1）（x²+x-8）
有理数范围内无法分解
=（x-1）（x²+x+1/4-8-1/4）
=（x-1）[（x+1/2）²-33/4]
=（x-1）（x+1/2+√33/2）（x+1/2-√33/2）

Answer 2

1.（x²+2x+1）（x²+2x+2）-12
=(x²+2x+1)[(x²+2x+1)+1]-12
=(x²+2x+1)²+(x²+2x+1)-12
=[(x²+2x+1)-3][(x²+2x+1)+4]
=(x²+2x-2)(x²+2x+5)
2. 7（x-1）²+4（x-1）（y+2)-20（y+2)²
=[7(x-1)-10(y+2)][(x-1)+2(y+2)]
=(7x-10y-27)(x+2y+3)
3.x³-9x+8
=(x³-x)-8x+8
=x(x-1)(x+1)-8(x-1)
=(x-1)(x²+x-8)

追问

为什么第二题中 7（x-1）²+4（x-1）（y+2)-20（y+2)²直接就到[7(x-1)-10(y+2)][(x-1)+2(y+2)]了？
中间过程是什么？

追答

这个是十字相乘法。
若x-1=a，y+2=b
原式=7a²+4ab-20b²=(7a-10b)(a+2b)
所以用十字相乘法可以直接得到上面的结果。