如图，已知正方形ABCD，点P为射线BA上一点（不和点A、B重合），过P作PE⊥CP，且CP=PE， 10
（1）若CB=6，PB=2，则EF=——；DF=——（EF知道 DF不知道）
（2）请探究BF,DG和CD这三条线之间的数量关系，写出你的结论并证明；（已证）（3）如图②，点P在线段BA的延长线上，若BC=1，当PB=—— 时四边形EFCD与四边形PEFC的面积之比为12:35 展开
（1） 求EF：
延长PA取AH=PB。有：PH=AB=BC；
∵∠PCB=90°-∠BPC=∠APE；由题意，PE=PC；
∴△PBC≌△EHP；
∴∠EHP=∠PBC=90°；EH=PB；
∵点F在BD上，BD为∠ABC的角平分线，∠ABD=∠CBD；
∴F到AB的距离=EH=F到BC的距离=PB；
∴四边形PFEH为矩形，
∴EF=HP=AB=BC；
（2） BF、DG、CD的长度关系：
∵EF=BC=CD；EF∥CD；DM=AP=6-2=4；
∴四边形CDEF为平行四边形，点G为平行四边形CDEF对角线的交点。
DG=GF=DF/2=DM×（√2）/2=2（√2）;
BF=（√2）PB=2（√2）;
∵BF=FG=GD；
∴BF=DG=CD√2/3 =2（√2）；
（3） 作PG=AB；由题意，PE=PC；
∵∠GPE=90°-∠BPC=∠PCB；
∴△PGE≌△PBC；EG=PB；
∵F在BD的延长线上，BD是∠ABC的角平分线；
∴F到PB的距离=EG=F到BC的延长线的距离=PB；
∴FH=BH=EG=PB；且，PF=BC；
∴△PFE≌△PBC；EF=BC=CD；四边形CDEF为平行四边形。
求面积的比：
平行四边形EFCD的面积：
Se=CD×CH=BC×（BH-BC）=BC×（PB-BC）=PB×BC-BC²；
△ EPC的面积：
Sc=PC²/2 =（PB²+BC²）/2；
△ EFC的面积等于平行四边形EFCD面积的一半；
Sf=Se/2；
四边形PEFC的面积为：
Sp=Sc+Sf= Sc+Se/2；
Sp/Se=（Sc+Sf）/Se=（Sc+Se/2）/Se=Sc/Se+1/2；
Sc/Se+1/2=g；
{（PB²+BC²）/2}/{ PB×BC-BC²}=g-1/2;
代入BC=1，化简上式可得方程：
PB²-（2g-1）PB+2g=0；
代入g=35/12，上式可化为：
6PB²-29PB+35=0；解此方程可得：
PB=5/2 或者 PB=7/3；
毕。
因为PE⊥PC PE=CP
∴∠CEP=∠CAP=45°
∴A、E、C、P四点共圆
∴∠EAC=∠EPC=90°
∴∠EAD=∠DAC=45°=∠ABD
∴AE∥BF而EF∥CD∥AB
∴AB∥EF
∴四边形AEFP是平行四边形
∴EF=AB=CB=6
∴∠APE=∠PEF
因为∠EPC=∠PBC=90°
∴∠APE=∠PCB
∴∠PEF=∠PCB
PE=PC
△PEF≅△PCB(SAS)
∴PF=PB=2
∴BF=2√(2)
因为BD=√(2)AB=6√(2)
∴DF=6√(2)-2√(2)=4√(2)
(2)分二种情形：
当P在线段BA上时
因为EF=∥CD可证四边形CDEF是平行四边形
∴DG=GF
∴DG+GF=2DG
∴BF+2DG=BD=√(2)CD
当P在BA延长线上时
BF-2DG=BD=√(2)CD
（3）作EM⊥BA的延长线于点M，延长EF交BC的延长线于点G，易证：△PEM≌△PBC，四边形CDEF为平行四边形，ME=BP=FG=AB+AP，AP=CG
设AB=BC=1，AP=CG=x，则
S四边形PEFC=S矩形BMEG-2S三角形BPC-S三角形FCF=(2+x)(1+x)-(1+x)-(1/2) (1+x)x=(1/2)x^2+(3/2)x+1
S四边形CDEF=x；
x :（1/2)x^2+(3/2)x+1=12:35
x=4/3或2/3
tan∠BPC＝3/7或2/5
∵PE⊥PC，PE=CP，
∴∠CEP=∠CAP=45°
∴A、E、C、P四点共圆，
∴∠EAC=∠EPC=90°，
∴∠EAD=∠DAC=45°=∠ABD，
∴AE∥BF，而EF∥CD∥AB，
∴AB∥EF，
∴四边形AEFB是平行四边形，
∴EF=AB=CB=6，
∴∠APE=∠PEF，
∵∠EPC=∠PBC=90°，
∴∠APE=∠PCB，
∴∠PEF=∠PCB，
又PE=PC，
∴△PEF≌△PCB（SAS），
∴PF=PB=2，
∴BF=22．
∵BD=2AB=62，
∴DF=62-22=42；
（2）BF+2DG=2CD．理由如下：
如图1，连接AE，AC．
由（1）可知，AB∥EF，AB=EF，
∵AB∥CD，AB=CD，
∴EF∥CD，EF=CD，
∴四边形CDEF是平行四边形，
∴DG=GF，
∴DG+GF=2DG，
∴BF+2DG=BD=2CD；
（3）作EM⊥BA的延长线于点M，延长EF交BC的延长线于点G，
易证：△PEM≌△PBC，四边形CDEF为平行四边形，ME=BP=FG=AB+AP，AP=CG．
设AB=BC=1，AP=CG=x，则
S四边形PEFC=S矩形BMEG-2S三角形BPC-S三角形FCG=（2+x）（1+x）-（1+x）-12（1+x）x=12x2+32x+1，
S四边形CDEF=x；
∵四边形EFCD与四边形PEFC的面积之比为1235，
∴x：（12x2+32x+1）=12：35，
x=43或32，
∵tan∠BPC=BCBP=11+x，
∴当x=43时，tan∠BPC=11+43=37；
当x=32时，tan∠BPC=11+32=25．
tan∠BPC=25或37．
故答案为：6，42；25或37．
因为PE⊥PC PE=CP
∴∠CEP=∠CAP=45°
∴A、E、C、P四点共圆
∴∠EAC=∠EPC=90°
∴∠EAD=∠DAC=45°=∠ABD
∴AE∥BF而EF∥CD∥AB
∴AB∥EF
∴四边形AEFP是平行四边形
∴EF=AB=CB=6
∴∠APE=∠PEF
因为∠EPC=∠PBC=90°
∴∠APE=∠PCB
∴∠PEF=∠PCB
PE=PC
△PEF≅△PCB(SAS)
∴PF=PB=2
∴BF=2√(2)
因为BD=√(2)AB=6√(2)
∴DF=6√(2)-2√(2)=4√(2)
(2)分二种情形：
当P在线段BA上时
因为EF=∥CD可证四边形CDEF是平行四边形
∴DG=GF
∴DG+GF=2DG
∴BF+2DG=BD=√(2)CD
当P在BA延长线上时
BF-2DG=BD=√(2)CD
