Question

已知函数f(x)=((a+1)x-3)/(x-1),不等式f(x)<x-a对任意x>1恒成立,求a的取值范围

Answer 1

((a+1)x-3)/(x-1)＜x-a
→[((a+1)x-3)-(x-a)(x-1)]/(x-1)＜0
→(-x^2+2(a+1)x-a-3)/(x-1)＜0
对任意x>1恒成立
∴-x^2+2(a+1)x-a-3＜0，x>1恒成立
令g(x)=-x^2+2(a+1)x-a-3
当对称轴x=a+1＞1,即a＞0时，则要求g(a+1)=a^2-a-2＜0
解得：a＞2 (a＜-1舍去)
当对称轴x=a+1＜1,即a＜0时，则要求g(1)=a-2＜0
解得：a＜0
综合，a取值范围为：a＜0或a＞2

Answer 2

f(x)=((a+1)x-3)/(x-1),
不等式f(x)<x-a对任意x>1恒成立
即：
((a+1)x-3)/(x-1) > x-a
因为x>1，两边同乘(x-1）
(a+1)x-3 > (x-1)(x-a)=x2-(a+1)x +a
x2-2(a+1)x < -3 -a
x2-2(a+1)x +1 < -3 -a +1 (左边配方得[x-(a+1)]^2)
（x-a-1）2 < -2-a >=0
解得：
a<=-2