Question

已知x²-3x+1=0 求根号x²+1/x²-2

Answer 1

已知x²-3x+1=0 求√[(x²+1)/(x²-2)]的值
解：由x²-3x+1=0，得x²+1=3x；x²-2=3x-3；故√[(x²+1)/(x²-2)]=√[3x/(3x-3)]=√[x/(x-1)]........(1)
再有x²-3x+1=0，得x=(3±√5)/2；
当x=(3+√5)/2时，代入(1)式得√[(x²+1)/(x²-2)]=√[(3+√5)/(1+√5)]
=(1/2)√[(3+√5)(√5-1)]=(1/2)√(2+2√5)
当x=(3-√5)/2时，代入(1)式得√[(x²+1)/(x²-2)]=√[((3-√5)/(1-√5)](虚数，舍去)
故√[(x²+1)/(x²-2)]=(1/2)√(2+2√5).

追问

那个√[（X²+1）/(x²-2）]怎么来的？

追答

那个√[（X²+1）/(x²-2）]怎么来的？不知道你问的是哪一个？
(一)由x²-3x+1=0，得x²+1=3x；x²-2=3x-3；故√[(x²+1)/(x²-2)]=√[3x/(3x-3)]=√[x/(x-1)]
这个写的很清楚，把x²+1=3x；x²-2=3x-3代入即得.
(二)当x=(3+√5)/2时，代入(1)式得√[(x²+1)/(x²-2)]=√{[(3+√5)²/4+1]/[(3+√5)²/4-2]}
=√{[(3+√5)²+4][(3+√5)²-8]}=√[(18+6√5)/(6+6√5)]=√[(3+√5)/(1+√5)](再往后就是分母有理化)
=(1/2)√[(3+√5)(√5-1)]=(1/2)√(2+2√5)

Answer 2

∵x²-3x+1=0
∴x²+1=3x
两边同时除以x
x＋1／x＝3
两边平方：
x²＋1／x²＋2＝9
两边同时减去4
∴x²＋1／x²－2＝5
∴√（x²+1/x²-2）＝√5

追问

平方出2?

追答

x＋1／x＝3
两边平方：
x²＋1／x²＋2×x*1/x＝9
∴x²＋1／x²＋2＝9
x*1/x=1呀

√（x²+1/x²-2)根式里面是3项，我理解的对吧

追问

额 直接x²+1/x²=9 直接带进去就好了

追答

x²+1/x²+2=9
x²+1/x²=7直接带进去就好