Question

设a≥0，函数f(x)=a√(1-x^2)+√(1+x)-√(1-x)的最大值为g(a)

⑴设t=√(1+x)-√(1-x),求t的取值范围，并把f(x)表示为t的函数m(t)

⑵求g(a)

求第二题的详细解答，另外，请注意符号，和其它知道上的题不同的，谢谢

Answer 1

1）定义域为[-1,1]
t^2=2-2√（1-x^2),
当x=0时，t^2取最小值0，
当x^2=1时，t^2取最大值2
所以t的取值为[-√2, √2]

由上，√(1-x^2)=1-t^2/2
代入f(x), 得：m(t)=a(1-t^2/2)+t
2) a=0时，f(x)=m(t)=t, 其最大值为m(1)=√2
a>0时，f(x)=m(t)=-a/2* t^2+t+a=-a/2*( t-1/a)^2+a+1/(2a)
开口向下，对称轴为t=1/a>0
因为t的值域为[-√2, √2]，
因此当m(t)的对称轴位于此区间时，即a>=√2/2时，最大值为m(1/a)=a+1/(2a)
当对称轴位于此区间右边时，即0<a<√2/2,最大值为m(√2)=√2

综合得：
当a=0, g(a)=√2
当0<a<√2/2, g(a)=√2
当a>=√2/2, g(a)=a+1/(2a)