Question

2012全国高中数学联赛倒数第二题！

2^m=n,m为正整数.f(x)为n次多项式,求满足f(x^2+1)=f(x)^2+1的所有f(x)

Answer 1

既然你能问这样的问题，说明你很好学，也很爱学。值得赞扬！
我且给你一条思路，仔细想想，依你的水平应该可以解答此题。
此题中2^m=n,m为正整数，f(x)为n次多项式，（很明显n为偶数，且为2的m次方数！），
因为f(x^2+1)是一偶函数，那么等式的右边也应是一偶函数，
所以f(x)^2+1为偶函数，即是f(x)^2+1=f(-x)^2+1
f(x)^2=f(-x)^2
f(x)=f(-x)或f(x)=-f(-x)这里是问题讨论的关键所在
然后设f(x)=a1x^2m+a2x^2m-1+................+a2mx^+b m为正整数
将其代入上面的情况讨论即可得出不同情况的所以f(x)