Question

椭圆中心在原点O,焦点在x轴上，离心率为√3/2，它与直线x+y+1=0相交

椭圆中心在原点O，焦点在x轴上，离心率为√3/2，它与直线x+y+1=0相交于P,Q两点，若|PQ|=8/5,求椭圆方程

Answer 1

这种题不难，但是算起来麻烦。

e=c/a=√3/2 易知 a=2b,c=√3b;由题意椭圆方程为 x^2/4b^2+y^2/b^2=1
即 x^2+4y^2 = 4b^2 将 x=-(y+1) 带入 (比带入y=-x-1 简便） 设P(X1,Y1) Q(X2,Y2)
|PQ|^2=(x1-x2)^2+(y1-y2)^2=2*(y1-y2)^2
则 （y+1)^2+4y^2-4b^2=5y^2+2y+1-4b^2=0
|PQ|^2=2*[(y1+y2)^2-4y1y2]=(2/25)[4+20(4b^2-1)]=(2/25)*4*4[5b^2-1] = 64/25
5b^2=3 ;b^2=3/5,a^2=12/5

椭圆方程 5x^2/12+5^2y^2/3 =1