Question

已知集合A={（x，y）|ax+y=1}，B={（x,y）}|x+ay=1}

已知集合A={（x，y）|ax+y=1}，B={（x,y）}|x+ay=1},C={(x,y)|x²+y²=1},问，（1）当a取何值时，（A∪B）∩C为含有两个元素的集合？（2）当a取何值时，（A∪B）∩C为含有三个元素的集合

Answer 1

(1)（A∪B）∩C为含有两个元素的集合,
则有两种情况：
一、直线A，B中有一条与圆C相离，另与圆C一条相交
无解
二、直线A和B与圆 C相切
1/√(1+a^2)=1，解得a=0

(2)（A∪B）∩C为含有三个元素的集合
则
一、A、B两直线中有一条与圆C相交，另一条相切
1/√(a^2+1)＝1且1/√(1+a^2)<1，无解
二、A、B两直线交于圆C上一点
易求A和B的交点为D（1/(a+1)，1/(a+1)）
由点D在圆C上，则1/(a+1)^2+1/(a+1)^2=1
解得a=-1±√2

Answer 2

(1)（A∪B）∩C为含有两个元素的集合,
则有两种情况：
一、直线A，B中有一条与圆C相离，另与圆C一条相交
1/√(a^2+1)>1且1/√(1+a^2)<1，无解
二、直线A和B孝与圆 C相切
1/√(1+a^2)=1，解得a=0

(2)（A∪B）∩C为含有三个元素的集合
则
一、A、B两直线中有一条与圆C相交，另一条相切
1/√(a^2+1)＝1且1/√(1+a^2)<1，无解
二、A、B两直线交于圆C上一点
易求A和B的交点为D（1/(a+1)，1/(a+1)）
由点D在圆C上，则1/(a+1)^2+1/(a+1)^2=1
解得a=-1±√2

Answer 3

C为单位圆
A为直线：y=1-ax
B为直线：x=1-ay
A,B恰互为反函数，关于y=x对称，因此A与B会同时与圆相切，相交，不相交。
1）由上分析，只能是A，B与C相切。即圆心到到直线的距离为半径1
即1/√(a^2+1)=1, 得：a=0
2)有三个元素，则A，B都与C相交，且有一个交点重合。
因为A，B的交点必在直线y=x上，故与C的交点必为(√2/2, √2/2)或(-√2/2,-√2/2)
此时a=(1-√2/2)/(√2/2)=√2-1, 或 a=(1+√2/2)/(-√2/2)=-√2-1