Question

已知圆C:x^2+y^2-2x+4y-4=0,是否存在斜率为1的直线

已知圆C:x^2+y^2-2x+4y-4=0,是否存在斜率为1的直线l，使以l被圆截得的弦AB为直径的圆过原点?若存在，求出直线的方程，若不存在，说明理由。

Answer 1

假设存在，
设直线l的方程为y=x+b，A(x1,y1)，B(x2,y2)
以AB为直径的圆过原点O，
∴向量OA*向量OB=0
∴x1*x2+y1y2=0
又，y1*y2=(x1+b)(x2+b)=x1*x2+b(x1+x2)+b²
∴2x1*x2+b(x1+x2)+b²=0【1】
联立，y=x+b和x²+y²-2x+4y-4=0，
整理得，2x²+2(b+1)x+b²+4b-4=0，
x1+x2=-(b+1)，x1*x2=(b²+4b-4)/2【2】
把【2】代人【1】，
解出，b=1或-4
∴直线的方程为x-y+1=0或x-y-4=0。

Answer 2

存在...设直线解析式
假设存在，
设直线l的方程为y=x+b，A(x1,y1)，B(x2,y2)
以AB为直径的圆过原点O，
∴向量OA*向量OB=0
∴x1*x2+y1y2=0
又，y1*y2=(x1+b)(x2+b)=x1*x2+b(x1+x2)+b²
∴2x1*x2+b(x1+x2)+b²=0【1】
联立，y=x+b和x²+y²-2x+4y-4=0，
整理得，2x²+2(b+1)x+b²+4b-4=0，
x1+x2=-(b+1)，x1*x2=(b²+4b-4)/2【2】
把【2】代人【1】，
解出，b=1或-4
∴直线的方程为x-y+1=0或x-y-4=0。