Question

如图所示，已知P是正方形ABCD的对角线BD上一点，四边形PECF是矩形。求证：PA⊥EF

Answer 1

延长AP交EF于点G,延长EP交AB于点穗配高猜尺Q,

因为ABCD是正方形，所以AB=BC，

因为BD是对角线，所以角ABD=角CBD=45度

因为四边形PECF是矩形，所以角AQP=角EPF=角PFE=90度

所以四边形BFPQ是正方形卖前，所以PQ=FP=QB=BF

所以AB-BQ=BC-BF,即AQ=CF=EP

在三角形AQP和三角形EPF中：AQ=EP,角AQP=角EPF,PQ=FP

所以三角形AQP全等于三角形EPF

所以，角APQ=角EFP

因为角PFC=角ABC=90度，所以PF平行AB,所以角PAQ=角FPG

所以角APQ+角PAQ=角FPG+角EFP=90度

所以PA⊥EF

Answer 2

证明：码差连结PC，则PC=PA，且由于正迟悔皮前好方形的对称性，PC与PA与EF的位置关系一样，明显PC与EF相交但不一定垂直，所以要证明的结论不完全正确，只有在PECF是正方形时结论成立！

Answer 3

如图所示：延长EP交AB于H，延长FP交AD于G，延长AP交EF于M

易证 △AGP≌△EFP，得∠APG=∠FEP

又∠APG=∠FPM，袜宴所以∠FPM=∠FEP

因为，∠FEP+∠EFP=90，所以慧简，∠FPM+∠EFP=90

所以∠EMP=90，前好裤即：PA⊥EF