Question

在半径为1的圆上随机地取两点,形成一条弦,则其长超过圆内接等边三角形的边长的概率为???

等边三角形的边长为根号3，弦长的取值范围是【0,2】，那为什么概率不是 （2-根号3）/2呢？

Answer 1

这个问题由于是在圆上而不同。首先应该注意到的是可以取圆的上下部分都可以。其次是考虑取点的问题。我们取得点是在弧上的，所以求概率时我们应该考虑的是点在弧上的位置。实际上就是考虑弧长占周长的部分。当弦长为根号3时，对应弧长为2/3π。由于有两个部分，所以弦长小于根号3的弧长部分一共有2*2/3π=4/3π。总共有2π周长，所以概率为（2π-4/3π）/2π=1/3。

追问

那为什么不能用我的方法算呢？根号3到2都有可能，总长为2，概率不就是（2-根号3）/2吗？哪儿错了啊？

追答

关键你要考虑的是其本质，其本质是取点，不是取线段。在圆上取弦有一个关键的地方就是它不同于其他直线图形如三角形、矩形那样取得线段的长度均匀变化，圆的弦的变化越往直径那里靠它的长度变化就越慢，这样你应该能感受得到吧，既然变化得不是均匀的，那就不能用长度来做为平均衡量的标准。这就跟平时我们跑步那样，不可能一直匀速跑，速度也是变化的，不能说我求了一个平均速度然后就知道你的任何一段时间跑了多远。其实关键是理解其本质要求就好。

Answer 2

楼上的图形画的很好啊
按这样的图，假设一点已经选到最上面的点
则第二点出现在A或B范围内，弦长小于三角形边长
当第二点出现在C范围，弦长大于三角形边长
而ABC是等分的，所以弦长大于三角形边长的概率是1/3

至于为什么不是你说的（2-根号3）/2，因为弦长在取第二点时，在（0，2）范围内不是线性变化的，可以大致理解为弦长在某个数值内概率大，在一些数值上概率小，所以不能用（2-根号3）/2表示弦长大于三角形边长的概率。

Answer 3

 

把圆形分成ABC这3部分。这是个几何概率问题。如果把那个顶点（没有标出来）看做是定点的话，则A  B 这两部分的弦长明显短于根号3，而C部分的则长于根号3.  算算面积之比吧。我就不算了，提供思路。

追问

应该是弧长之比吧？

追答

不是的。你的错误之处在于把情况极限化，然后用两个极限的结果去比较，而忽视了题目的动态的意思。。随机这个词。所以能体现随机这个意思的，就是几何上的面积。就像电子云一样，不知道电子在哪里出现，但是出现概率是理论确定的，表观上体现为电子云。 另一位回答者应该是最正确的，面积的随机性弱于弧长的随机性。大概思路使用几何来算