Question

设两个二次方程ax^2+bx+c=0以及cx^2+bx+a=0都有两个不等实根,求c/a与b/c值

Answer 1

俊狼猎英团队为您解答

ax^2+bx+c=0以及cx^2+bx+a=0，
ax^2+bx+c=0以及a(1/x)^2+b(1/x)+c=0
可以看出方程ax^2+bx+c=0的两根互为倒数。
∴c/a=X1*X2=1，a=c
设X1是方程ax^2+bx+c=0的一个根，则另一根为1/X1，
X1^2=-b/a*X1-1
b/c=(b/a)/(c/a)=b/a,

追问

若果这样的话b=0,a=c,原方程为a(x^2+1)=0会有2个根吗？！

追答

由b^2-4ac>0，得b^2>4c^2，(b/c)^2>4,
∴b/c>2或b/c<-2.
即b≠0。

追问

b/c值那是多少？这道题我构造一个2x^2-3x+1=0与x^2-3x+2=0 或者3x^2-4x+1=0与x^2-4x+3=0这两个都可以啊，这道题没有定解吧？

追答

我也认为b/c没有定值。
我推理出的是a=c，意为ax^2+bx+c=0的两根互为倒数，
但你构造的题目中是一个方程的两根是另一个方程两根的分别倒数，这里有区别。
也就是说把两个方程化归为一个方程来考虑，这个方法是这一类问题的一般方法。
从你举的例子来看好象也成立，但没有到这两个方程之间内存的联系，这可能不是出这个题目的原来想法。不过，本题真的不简单。

Answer 2

还有别的条件吗？

Answer 3

我答答试试，有问题的可以探讨
当x=1时，两式都变成a+b+c=0
当x=-1时，两式都变成a-b+c=0
所以，两式相加：2a+2c=0, a=-c, c/a=-1
两式相减，2b=0， b=0 , b/c=0