Question

自然数幂求和

有没人研究过自然数幂求和的通式的 我搞出来一个通式不知道对不对 有兴趣的加qq616125733 一起研究
这个属于高阶等差数列吗 没有通式吗 我是用寻规律的方法类推的 因为高中的知识没有涉及

Answer 1

我研究过：
比如怎么推导：1^2+2^2+3^2+……
1^3+2^3+3^3+……
……

楼主可试着求一求下面这个数列的通项公式：
1,2,4,8,16,32,63,120,219,382……（四阶等差数列）
就要用到上面的公式

求：1^p+2^p+3^p+...+n^p的公式
先举一个例子，求1^5+2^5+3^5+…+n^5。
首先写出和式的前6项
即1^5=1 2^5=32 3^5=243 4^5=1024 5^5=3125 6^5=7776
再求出相邻两数之差，得
31 211 781 2101 4651
再次求出相邻两数之差，得
180 570 1320 2550
再次求，一直求到只剩一个数为止
390 750 1230
360 480
120
最后，取每一组数的第一个数（包括原数组），得：1，31，180，390，360，120
则1^5+2^5+3^5+……+n^5=
1*C(1,n)+31*C(2,n)+180*C(3,n)+390*C(4,n)+360*C(5,n)+120*C(6,n)

对于某一个p，有一种通法可以求1^p+2^p+3^p+...+n^p。
首先写出这个和式的前(p+1)项，
即
1^p 2^p 3^p 4^p …… (p+1)^p
然后求出相邻两数之差，得到的差有p个
再求出差的相邻两数之差，得到的差有(p-1)个
一直求下去，求到只剩一个差为止。
最后，包括原数组1^p 2^p 3^p 4^p …… (p+1)^p，一共有(p+1)组数。
取每组数的第一个数a1、a2、a3、a4……a(p+1)（注：这(p+1)个数的顺序为为求得差时的顺序。）
则1^p+2^p+3^p+...+n^p
=a1*C(1,n)+a2*C(2,n)+a3*C(3,n)+…+a(p+1)*C(p+1,n)

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Answer 2

这个头大啊