Question

已知函数f(x)=a(自然对数lnx–x) (a属于R)

求:(1)讨论函数f(x)的单调性(2)若函数y=f(x)的图像在点(2，f(2))处的切线的倾斜角为四十五度，函数g(x)=x^3+x^2[m/2+f'(x)]在区间(2，3)上总存在极值，求实数m的取值范围

Answer 1

解：由（2,f(2)）点切线倾斜角为45得，
f'(2)=1，即a/2-2=1,则，a=-2,f'(x)=-2/x+2，
则g(x)=x^3+x^2(-2/x+2+m/2)=x^3+(2+m/2)x^2-2x,g'(x)=3x^2+(4+m)x-2,
题中说函数不单调，也就是说在(t,3)范围内，g'(x)=0有解，
因为g'(0)=-2<0,
所以当且仅当g'(t)<0且g'(3)>0时方程有解，
3t^2+(4+m)t-2<0且3*3^2-3(4+m)-2>0,
解之得-37/3<m<2/t-3t-4,又因为t∈[1,2],
所以-37/3<m<－9

Answer 2

f(x)=a(lnx -x)，x>0
f'(x)=a(1/x -1)=a(1-x)/x
(1)
①当a=0时，f(x)=0，为常数函数，不增不减；
②当a>0时，令f'(x)>0，解得 0<x<1
即 f(x)在(0,1)上是增函数，同理，f(x)在(1,+∞)上是减函数；
③当a<0时，仿照②，得
f(x)在(0,1)上是减函数，在(1,+∞)上是增函数。
(2) 由条件，得f'(2)=k=tan45°=1，即 a(1-2)/2=1，a=-2
所以 g(x)=x³-x²[m/2 -2(1-x)/x]=x³-(2+m/2)x² +2x
g'(x)=3x²-(4+m)x+2，
因为 g(x)在（2，3）存在极值，从而
g'(x)=3x²-(4+m)x+2=0在(2,3)有解。
①若g'(x)=0在（2，3）内有一解，则g'(2)g'(3)<0，
即 (6-2m)(17-3m)<0，解得3<m<17/3
②若g'(x)=0在（2，3）内有两解，则
g'(2)>0，g'(3)>0，⊿≥0，2<(4+m)/6<3 (对称轴在（2，3）之间）
无解。
从而 3<m<17/3

Answer 3

(1) f'(x) = a(1/x -1) = a(1-x)/x
定义域: x > 0
(i)a = 0, f(x) = 0, 常数
(ii) a < 0:
0< x < 1时: 1-x > 0, f'(x) < 0, 递减
x > 1时: 1 - x < 0, f'(x) > 0, 递增
(iii) a > 0
0< x < 1时: 1-x > 0, f'(x) > 0, 递增
x > 1时: 1 - x < 0, f'(x) < 0, 递减

(2) f(2) = a(ln2 - 2)
f'(2) = a(1 - 2)/2 = -a/2 = tan45度 = 1
a = -2
f(x) = -2(lnx- x)
f'(x) = 2(x - 1)/x
g(x) = x³ + x²[m/2 + (2x - 2)/x] = x³ +(2+ m/2)x² - 2x
g'(x) = 3x² + (4+2m)x - 2 = 0

x = [-2-m±√(m² + 4m+ 10)]/3
2 < x < 3
(i) 2 < [-2-m + √(m² + 4m+ 10)]/3 < 3
6 < -2-m + √(m² + 4m+ 10) < 9

8 + m < √(m² + 4m+ 10) < 11+m
-9/2 < m < -37/6

(ii) 2 < [-2-m - √(m² + 4m+ 10)]/3 < 3
6 < -2-m - √(m² + 4m+ 10) < 9
-6 > 2 + m+ √(m² + 4m+ 10) > -9
-8-m > √(m² + 4m+ 10) > -11 - m
无解