Question

如图，M·N分别是三角形ABC的边AC·BC上的点，在AB上求做一点P使三角形PMN的周长最小，

如图，M·N分别是三角形ABC的边AC·BC上的点，在AB上求做一点P使三角形PMN的周长最小，并说明你这样作的理由。

Answer 1

两种方法：
（1）作M关于AB的对称点M'，连结M'N，交AB于一点，这一点即为所求的P点。
（2）作N关于AB的对称点N'，连结MN'，交AB于一点，这一点即为所求的P点。
证明如下：
作N关于AB的对称点N'，连结MN'，交AB于一点P；则AB垂直平分NN'
连接PN，则PN=PN'；
∴△PMN的周长为：C=MN+MP+PN=MN+MP+PN'=MN+MN'；
现在边AB上任取一点P',P'与P不重合；
连接P'M,P'N',P'N；则P'N=P'N'；
在△P'MN'中，有P'M+P'N'＜MN'。
∴在△P'MN的周长C'=MN+MP'+P'N=MN+MP'+P'N'＜MN+MN'=C；
即点P为所求的点

Answer 2

做M点关于AB对称点D，连接ND交AB于P。因为PM+PN=ND，F为AB任意一点，FN+FM=FN+FD大于ND