Question

已知椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的两个焦点分别为F1,F2,短轴的一个端点为P。(1）

若∠F1PF2为直角，求椭圆的离心率；（2）若∠F1PF2为钝角，求椭圆离心率的取值范围

Answer 1

哈哈~又看见你了。这种题常规解法是用余弦定理或者向量积去做，不过这个题目是有捷径的~

<1> ∠F1PF2=90 等价于 ∠F1PO= 45 (OP垂直评分F1F2），b=c, e=c/a=√2/2
<2>180>∠F1PF2>90 等价于 90>∠F1PO>45 即tan∠F1PO=c/b>1
e^2 = c^2/a^2 = (a^2-b^2)/a^2 = 1 - b^2/(b^2+c^2) = 1-1/(1+(c/b)<1
考察f(x) = 1-1/(1+x)的性质， 它在 x>1 的时候是增函数
1/2<e^2<1 所以 √2/2 <e <1