Question

已知函数y=x^2+2ax+1,当-3≤x≤2时有最大值4,求实数a的值

Answer 1

设f(x)=x^2+2ax+1，二次函数为开口向上的，对称轴x=-a，因此得分类讨论：
(1)如果-a≤-3，即a大于等于3，则函数在-3≤x≤2为单调递增，因此最大值为f(2)=4，解得a=-1/4不符合条件，舍去
(2)如果-3≤-a≤2，即-2≤a≤3，函数在-3≤x≤2先减后增，最大值为f(-3)和f(2)的较大者，
f(-3)=10-6a，f(2)=5+4a 若f(-3)=4，则a=1，f(2)=9 由于 f(-3)<f(2)而不符合条件，舍去
若f(2)=4，则a=-1/4，f(-3)=23/2 由于 f(2)<f(-3)而不符合条件，舍去
(3)如果-a≥2，即a小于等于-2，则函数在-3≤x≤2为单调递减，因此最大值为f(-3)=4，解得a=1不符合条件，舍去
方法就是如上，如果这道题确实如此，没有抄错，那么不存在满足条件的a

Answer 2

y=f(x)=x^2+2ax+1=(x+a)²+1-a² x=-a时，f(x)min=1-a² f(-3)=10-6a f(2)=5+4a
(1)当-3=<-a<-1/2时，f(x)max=f(2)=5+4a=4 a=-1/4；
(2) 当-1/2=<-a<=2时，f(x)max=f(-3)=10-6a=4 a=1

追问

那个……后面那两个（1）和（2）是怎么推出来的？为什么要以-1/2为分界？

追答

-1/2是-3和2的区间的中间值，x=-a是f(x)的对称轴。函数开口向上，对称轴处取得最小值，当对称轴在区间中间值时，区间两端点的函数值相等，均为最大值。否则，如果对称轴偏向-3一端，则f(2)为最大值，如果对称轴偏向2一端，则f(-3)为最大值。