Question

以直角三角形ABC三边为直径分别作三个半圆，已知以AC为直径的半圆面积为s1，以BC为直径半圆面积为S2

1。求以AB为直径的半圆的面积S
2。若将途中半圆改为以三边为斜边的等腰直角三角形，结论是否仍成立？试证明。

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Answer 1

解：1、依题意，可知
S1=(1/4)*AC²π
S2=(1/4)*BC²π
则 S1+S2=(1/4)*(AC²+BC²)π
又AB²=AC²+BC²
故 S1+S2=(1/4)*AB²π
而S=(1/4)*AB²π
即 S=S1+S2
2、∵等腰直角三角形斜边上的高为斜边上的中线
∴斜边上的高等于斜边的一半
则S1=(1/2)*AC*(AC/2)=(1/4)*AC²
S2=(1/2)*BC*(BC/2)=(1/4)*BC²
S=(1/2)*AB*(AB/2)=(1/4)*AB²
又AB²=AC²+BC²
∴S=S1+S2