Question

在三角形ABC中,A,B,C角对边分别为a,b,c,且3acosB=bcosC+ccosB

1.求sinB的值2.若b=4，a=c求三角形ABC的面积

Answer 1

解：1、∵3a*cosB=b*cosC+c*cosB
由正弦定理，可得
3sinA*cosB=sinB*cosC+sinC*cosB
∴3sinA*cosB=sin(B+C)=sinA
则 3cosB=1
∴cosB=1/3
故sinB=√(1-cos²B)=2√2/3
2、由余弦定理，有
cosB=(a²+c²-b²)/2ac
又a=c
则cosB=(2a²-b²)/2a²
∴a²=b²/(2-2cosB)
=4²÷[2-2×(1/3)]
=12
故ca=a²=12
因此，△ABC的面积
S=(1/2)*ac*sinB
=(1/2)×12×(2√2/3)
=4√2

Answer 2

3acosB=bcosC+ccosB
3sinAcosB=sinBcosC+sinCcosB
3sinAcosB=sin(B+C)=sinA
sinA不等于0
3cosB=1
cosB=1/3
sinB=2*根号2/3

Answer 3

1.3acosB=bcosC+ccosB等式两边同除以三角形ABC外接圆直径2R，3sinAcosB=sinBcosC+sinCcosB，3sinAcosB=sin(B+C)=sin(π-A)，cosB=1/3，sinB=2√2/3；
2.tan(B/2)=sinB/(1+cosB)=√2/2，三角形ABC在b边的高=2/tan(B/2)=2√2，三角形ABC的面积=4*2√2/2=4√2。