Question

如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，CD=BD，BE平分∠ABC

如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，CD=BD，BE平分∠ABC，且BE⊥AC于点E，与CD相交于点F，H是BC边的中点，DH与BE相交于点G。
（1）求证：BF=AC
（2）求证：CE=二分之一BF
（3）请判断CE与BG的大小关系，并说明你的理由。
很急啊，明天就要交了。拜托了。

Answer 1

(1)证明:∵∠DBF=∠DCA(均为角A的余角);
BD=CD;∠BDF=∠CDA=90°(已知)
∴⊿BDF≌⊿CDA(ASA),BF=AC.
(2)证明:∵∠CEB=∠AEB=90°;BE=BE;∠CBE=∠ABE(已知).
∴⊿CBE≌⊿ABE(ASA),CE=AE.
故CE=AC/2=BF/2.(等量代换)
(3)CE<BG,且√2CE=BG.
证明:连接GC.
∵DB=DC;BH=CH.
∴DH⊥BC,即DH垂直平分BC,则BG=CG.
又CE<CG(直角三角形中斜边大于直角边).
故CE<BG(等量代换);
∵CG=BG.
∴∠GCB=∠GBC=(1/2)∠DBC=22.5°;
所以,∠CGE=∠GBC+∠GCB=45°,⊿CEG为等腰直角三角形.
∴√2CE=CG=BG.

Answer 2

（1）证明：在Rt△BDF和Rt△CDA中，CD=BD，角DBF+角A=90度，角DCA+角A=90度，
所以角DBF=角DCA，角BDF=角ADC=90度，所以△BDF全等于△CDA，所以BF=AC.
（2）证明：因为BE平分∠ABC，且BE⊥AC于点E，所以E是AC中点，CE=1/2AC，又
BF=AC，所以CE=1/2BF。
（3）解：CE<BG.
因为DH平分角BDC，所以BG>GF,所以BG>1/2BF=1/2AC=CE.

Answer 3

(1)证明:∵∠DBF=∠DCA(均为角A的余角);
BD=CD;∠BDF=∠CDA=90°(已知)
∴⊿BDF≌⊿CDA(ASA),BF=AC.
(2)证明:∵∠CEB=∠AEB=90°;BE=BE;∠CBE=∠ABE(已知).
∴⊿CBE≌⊿ABE(ASA),CE=AE.
故CE=AC/2=BF/2.(等量代换)

（3）解：CE<BG.
因为DH平分角BDC，所以BG>GF,所以BG>1/2BF=1/2AC=CE.