Question

如图,在等腰RT△ABC中,角C=90°,F是AB边上的中点,点D,E分别在AC,BC边上运动，且保持AD=CE，连接DE，DF，EF

如图,在等腰RT△ABC中,角C=90°,F是AB边上的中点,点D,E分别在AC,BC边上运动，且保持AD=CE，连接DE，DF，EF
求证：△DFE是等腰直角三角形

Answer 1

连结CF，
∵F是AB中点，
∴CF是AB上的中线，
∵AC=BC，
∴CF⊥AB，〈ACF=〈FCB，（等腰△三线合一）
∵〈ACB=90°，
∴〈A+〈B=45°，
〈ACF=〈BCF=45°，
∴〈FCE=〈DAF=45°，
∵CF=AB/2=AF，
AD=CE，（已知），
∴△ADF≌△CEF，（SAS），
∴EF=DF，
〈AFD=〈CFE，（1）
∵AC=BC，
∴AC-AD=BC-CE，
∴AD=BE，
同理△BEF≌△CDF，
∴〈EFB=〈DFC，（2）
（1）+（2）式，
〈AFD+〈EFB=〈CFE+〈DFC，
〈DFE=〈CFE+〈DFC，
∵〈AFB=180°，
∴〈DFE=〈AFB/2-90°，
∴△FDE是等腰RT△。