Question

已知向量m=(cos x/3,根号3cos x /3) n(sin x/3 ,cosx/3) 函数f(x)=m*n

已知向量m=(cos x/3,根号3cos x /3) n(sin x/3 ，cosx/3) 函数f(x)=m*n (1) 求函数f(x)的解析式 （2）求f(x)的单调递增区间 （3）如果三角形ABC的三边abc 满足b^2=ac 且边b所对的角为x 试求x的范围及此函数f(x)的值域 谢谢大神的帮助

Answer 1

(1)f(x)=m*n=sin(x/3)cos(x/3)+√3cos²(x/3)
=1/2sin(2x/3)+√3/2cos(2x/3)+√3/2
=sin(2x/3+π/3)+√3/2。
(2)由2kπ-π/2≤2x/3+π/3≤2kπ+π/2(k∈Z)，
得3kπ-5π/4≤x≤3kπ+π/4(k∈Z)，
所以f(x)的单调递增区间是[3kπ-5π/4，3kπ+π/4](k∈Z)。
(3)因为b²=ac，
所以由余弦定理，得cosx=(a²+c²-b²)/2ac=(a²+c²-ac)/2ac≥(2ac-ac)/2ac=1/2，
上式当且仅当a=c时等号成立。
因为x是三角形的内角，所以0<x≤π/3，
因此π/3<2x/3+π/3≤5π/9，则√3/2<sin(2x/3+π/3)≤1，故√3<f(x)≤1+√3/2。