Question

椭圆x²/a²+y²/9=1(a>3)与圆（x+2）²+（y-2）²=8

的一个交点到两焦点的距离之和为10，问在圆上是否存在不与原点重合的点Q,使Q到椭圆右焦点的距离等于焦距的一半？若存在。请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由。麻烦老师写出细节过程谢谢！

Answer 1

这种题目不要慌，一步一步来。
<1> 一个交点到两焦点的距离之和为10，也就是说2a=10→a=5
椭圆: x^2/25+y^2/9 = 1;右焦点F:(4,0)
<2> 假设圆上存在不与原点重合的点Q,使Q到椭圆右焦点的距离等于焦距的一半,
可知FQ=2c/2 = 4
这个问题的实质，就是以F为圆心，OF=4为半径的圆(x-4)^2+y^2=16与圆（x+2）²+（y-2）²=8是否有不同于原点的交点Q。

这里，笔者不建议两个方程联立求解，计算量偏大，优先考虑几何性质。设A（-2，2）
1) 是否存在Q
# 因为 OF+OA = 4+2√2>√40 = AF, OF-OA=4-2√2<√40 = AF 所以两圆相交,Q必定存在
2) 计算Q点坐标
# 则AF⊥OQ(连心线垂直公共线) → kAF *kOQ =-1 → -2/6 * kOQ = -1 → kOQ = 3
# 算出直线OQ与 AF交点M，他是OQ中点 OQ: y=3x;AF: y=(-1/3)(x-4) M(2/5,6/5)
# 得到Q点坐标 Q = (4/5,12/5)