Question

设a b c为实数，若a+b+c=2√a+1 +4√b+1+6√c-2 -14 求a(b+c)+b(c+a)+c(a+b)d的值 谢谢

Answer 1

令a+1=x^2,b+1=y^2,c-2=z^2,则
(x^2-1)+(y^2-1)+(z^2+2)=2x+4y+6z-14
(x^2-2x+1)+(y^2-4y+4)+(z^2-6z+9)-14=-14
(x-1)^2+(y-2)^2+(z-3)^2=0
x=1,y=2,z=3
a=0,b=2^2-1=3,c=3^2+2=11
a(b+c)+b(c+a)+c(a+b)=33+33=66

Answer 2

分析：一般遇到多根号的式子，可以尝试考虑用换元法去掉根号。
设根号(a-1)=t，根号(b+1)=u，根号(c-2)=h，
则a=t^2+1，b=u^2-1，c=h^2+2，
所以条件的等式化为t^2+1+u^2-1+h^2+2=2t+4u+6h-12，
移项得(t^2-2t+1)+(u^2-4u+4)+(h^2-6h+9)=0，
(t-1)^2+(u-2)^2+(h-3)^2=0，
由此可见，t=1，u=2，h=3
所以a=2，b=3，c=11，
故原式=2ab+2bc+2ac=122.