Question

设二次函数y=ax²-2x+2对于满足1≤x≤4的一切x的值都有y＞0，求实数a的取值范围

Answer 1

【分析】分为3种情况：
第1种 a不等于0，并且f(x)=ax^2-2x+2 1<x<4上单调递增求出a的范围
第2种 a不等于0 并且f(x)=ax^2-2x+2 1<x<4上单调递减求出a的范围
第3种 a不等于0 f(x)的只要使f(1)>0 并且f(4)>0求了a的范围

综上四种情况的并集就是a的取值范围

【解答过程】
解：
当a=0时，f(x)=-2x+2，由-2x+2>0得x<1，不符合题意，∴a≠0
当a>0时，欲使f(x)>0，x∈(1,4)等价于
(1)a>0，△=4-8a<0，∴a>1/2
(2)a>0，1/a>0，f(4)>0，∴无解
(3)a>0，1/a<1，f(x)>0，∴a>1
当a<0时，欲使f(x)>0，x∈(1，4)，等价于f(1)>0，f(4)>0，∴a>0，a>3/8，∴a>3/8，与a<0矛盾，无解
综合上述，a>1/2

Answer 2

ax²-2x+2>0即a>(2x-2)/x^2=-2[(1/x)-1/2]^2+1/2在1≤x≤4上恒成立，
又因为-2[(1/x)-1/2]^2+1/2在1≤x≤4上的最大值等于1/2
所以a>1/2

Answer 3

a=0
y=2-2x,对于1<x<4,都有y<0所以a=0不成立

a不等于0
y=a[x-(1/a)]^2+2-(1/a)

a<0，f(x)开口向下，
对称轴1/a在（1，4）左边，f(x)在(1,4)上单调递减，f(x)在x=4取最小值
所以f(4)>＝0即a>=3/8，和a<0矛盾

a>0
i) 对称轴1/a在（1，4）左边,1/a<=1 即，a>=1时候，f(x)在(1,4)上单调递增，f(x)在x=1取最小值,所以f(1)=a>＝0
所以a>=1成立

ii) 对称轴1/a在（1，4）右边,1/a>=4 即，a<=1/4时候，f(x)在(1,4)上单调减，f(x)在x=4取最小值,所以f(4)>＝0即a>=3/8
所以0<a<=1/4不成立

iii)对称轴1/a在（1，4）中间,1<=1/a<=4 即，1/4<=a<=1时候，f(x)在x=1/a取最小值,所以f(1/a)=2-1/a>＝0即a>=1/2
所以1/2<=a<=1成立

综上所述,a的取值范围是[1/2,+∞)