Question

如图，在RT△ABC中，∠A=90°，D为斜边BC的中点，DE⊥DF，求证：EF的平方=BE的平方+CF的平方.

Answer 1

证明：在ED的延长线上取点G，使DE＝DG，连接FG
∵∠A＝90
∴∠ABC+∠ACB＝90
∵D是BC的中点
∴BD＝CD
∵DE＝DG，∠BDE＝∠CDG
∴△BDE≌△CDG （SAS）
∴CG＝BE, ∠DCG＝∠ABC
∴∠ACG＝∠DCG+∠ACB＝∠ABC+∠ACB＝90
∴FG²＝CG²+CF²＝BE²+CF²
∵DE⊥DF，DE＝DG
∴DF垂直平分EG
∴EF＝FG
∴EF²＝BE²+CF²

Answer 2

解：延长ED到P，使DP=DE.
∵BD=CD.
∴△BED≌△CPD（SAS）.
∴BE=CP.
又∵DE=DP,∠EDF=∠PDE=90°，DF=DF.
∴△DEF≌△DPF(SAS)
∴EF=FP.
∵∠B=∠DCP，∠A=90°.
∴∠B+∠ACB=90°.
∴∠ACB+∠DCP=90°.
∴RT△FCP.
∴CF²+CP²=PF²（勾股定理）
∵BE=CP,PF=EF.
∴EF²=BE²+CF².

Answer 3

证明：延长ED到G，使DG=DE，连接EF、FG、CG，∵DF=DF，∠EDF=∠FDG=90°，DG=DE
∴△EDF≌△GDF
∴EF=FG
又∵D为斜边BC中点
∴BD=DC
又∵∠BDE=∠CDG，DE=DG
∴△BDE≌△CDG
∴BE=CG，∠B=∠BCG
∴AB∥CG
∴∠GCA=180°-∠A=180°-90°=90°
在Rt△FCG中，由勾股定理得：
FG2=CF2+CG2=CF2+BE2
∴EF2=FG2=BE2+CF2．

Answer 4

任务路过