Question

设函数f(x)=x+ax^2+blnx,曲线y=f(x)过P(1,0),且在P点处的切线斜率为2.(1)求a,b的值,(2)证明:f(x)≤2x-2

Answer 1

（1）y=f(x)=x+ax^2+blnx => y'=f'(x)=1+2ax+b/x
f(x)过P(1,0)，则f(1)=0=1+a => a=-1
在P处切线斜率为2，则f'(1)=2=1+2a+b=-1+b => b=3
∴a=-1,b=3，方程为f(x)=x-x^2+3lnx
(2) g(x)=f(x)-(2x-2)=x-x^2+3lnx-2x+2=-x-x^2+2+3lnx
g'(x)=-1-2x+3/x=(-2x^2-x+3)/x=(3+2x)(1-x)/x
函数定义域为x>0，∴当0<x≤1时，g'(x)≥0，函数单调递增
当x≥1时，g'(x)≤0，函数单调递减；∴函数g(x)在x=1处取得最大值
g(1)=-1-1+2+3ln1=0
∴函数g(x)在整个定义域(0,+∞)上，g(x)≤0
∴f(x)-(2x-2)≤0，即f(x)≤2x-2，得证

Answer 2

y=f(x)=x+ax^2+blnx => y'=f'(x)=1+2ax+b/x
f(x)过P(1,0)，则f(1)=0=1+a => a=-1
在P处切线斜率为2，则f'(1)=2=1+2a+b=-1+b => b=3
∴a=-1,b=3，方程为f(x)=x-x^2+3lnx

g(x)=f(x)-(2x-2)=x-x^2+3lnx-2x+2=-x-x^2+2+3lnx
g'(x)=-1-2x+3/x=(-2x^2-x+3)/x=(3+2x)(1-x)/x
函数定义域为x>0，∴当0<x≤1时，g'(x)≥0，函数单调递增
当x≥1时，g'(x)≤0，函数单调递减；∴函数g(x)在x=1处取得最大值
g(1)=-1-1+2+3ln1=0
∴函数g(x)在整个定义域(0,+∞)上，g(x)≤0
∴f(x)-(2x-2)≤0，即f(x)≤2x-2