Question

导数是复合函数，如何求原函数

比如导数为lnx/x 原函数
或者根号下1-cosx

Answer 1

我猜你问的是这两个函数的原函数？

lnx/x = (1/x)*lnx, 原函数是((lnx)^2)/2 +C。这个用第一换元积分可以做。

设x=2t，则有cosx=cos(2t)=1-sin(t))^2，即1-cosx=2(sin(t))^2。
因此你的根号下1-cosx即为|(2^(1/2))*sint|，其原函数为(2^(1/2))*cost+C=(2^(1/2))*cos(x/2) +C, 视t的取值范围前面要加正负号。 这个是用第二换元积分。

Answer 2

就是复合函数求导
第一个等于
[(1/X)*X-lnX]/X的平方
第二个=-(1/2)sinX/根号下(1-cosX)

Answer 3

举例说明：
设有复合函数：
u(x)
=
u[v(x)]
(1)
其中：
u(v)
=
v^2
(2)
v(x)
=
e^x
(3)
实际上
u(x)
=
e^(2x)
(4)
复合函数求导：du(x)/dx
=
(du/dv)(dv/dx)
=
(2v)(e^x)
=
(2e^x)(e^x)
即：
du(x)/dx
=
2e^(2x)
(5)
那么已知复合函数的导数u'(x)
，可以通过
对(5)式积分的方法求出它的原函数u(x)，只是多出一个积分常数c：
u(x)
=
∫
2e^(2x)dx
=
∫
e^(2x)d(2x)
=
e^(2x)
+
c
=
(e^x)^2
+c
//:
采用变量替换：v(x)=e^x
u(v)=v^2，回代
=
u[v(x)]+c
(1)
=
e^(2x)+c
(4)
(是这个意思吗？）