Question

求y=|2x+4|-|2x-6|的值域

要具体过程

Answer 1

楼上都是代数分类讨论法，没有一个用几何方法的，我给一个几何方法~
y=2|x+2|-2|x-3|
这个从几何上怎么理解呢？|x+2|是数轴上x点与-2之间的距离，|x-3|是x与3之间的距离。y就是x到-2与3的距离之差，乘以2。换句话说只要找出这个距离差最大和最小是多少，y的值域就确定了。
自己画一个数轴，可以很明显看出，x在从左往右移的过程中，假设x用点P表示，-2是点A，3是点B。先是在-2左边，这个距离差是永远是PA-PB=PA-(PA+AB)=-AB=-5；之后到了-2与3之间，总要经历一个PA从0（P与A重合的时候）开始增大的过程，PB从5开始逐渐减小的过程，总体来说到中点之前距离差还是负的，到中点就变成0，之后就正的开始增加。到了B以及再往右，距离差一直是PA-PB=PB+AB-PB=AB=5就不变了。因此这个函数大概是x从-∞到-2始终是-10，从-2到3单调递增，从3到正无穷一直是10.值域当然是[-10,10]。
另外楼主要理解一下几何法，深入思考一下几何法为何能成功解决这道题。我们依赖的是只有两个定点A、B，而且都是2倍距离……这样就转化成两个1倍距离之差，可以直接被几何所观察。假如倍数不相等（换句话说就是x系数不相等），是3PA-2PB，那就不容易观察了；还假如定点不止两个，比如y=|x-2|+|x+3|-|x-4|-|x+1|这样的几何法观察就比较困难了，很容易错。所以这个几何方法虽然直观，简单，巧妙，但是普适性远远不如楼上说的代数讨论，那个方法是只要这类题全部都能解的。如果遇到系数不一样或者定点不止一个，最好用代数讨论。

Answer 2

　　可以进行分类讨论

①当2x+4≤0,即x≤-2时

　　y=|2x+4|-|2x-6|=-2x-4-(-2x+6)=-10

　　即y恒=-10

②当0<2x+4且2x-6≤0,即-2<x≤3时

　　y=|2x+4|-|2x-6|=2x+4-(-2x+6)=4x-2

　　由定义域可得y∈(-10,10]

③当0<2x+4即x≤-2时

y=2x+4-2x+6=10

即y恒=-10

综上所述y∈[10,10]

 

 

数学模范生团队为您解答

Answer 3

2x+4恒大于2x-6
当2x-6≥0即x≥3时
y=2x+4-(2x-6)=10

当2x+4≤0,即x≤-2时
y=-2x-4-(6-2x)=-10

当2x-6<0<2x+4,即-2<x<3时
y=2x+4-(6-2x)=4x-2
由于-2<x<3.则-10<y<10

所以x∈R时,
y的值域是[-10,10]