Question

求对X的几阶无穷小 题目如图，要详细过程

Answer 1

射为n阶无穷小，极限
f(x)/x^n趋于常数
对它应用罗比达法则得到
f(x)/x^n= df/dx/nx^(n-1)
= sin((ln(1+x)^2)^2) * 1/(1+x)^2 * 2(1+x) / nx^(n-1)

ln(1+x) ~ x
sin((ln(1+x)^2)^2) ~ 4x^2
sin((ln(1+x)^2)^2) * 1/(1+x)^2 * 2(1+x) ~ 8x^2
8x^2/nx^(n-1)趋于常数，则n-1=2,n=3，所以是3阶无穷小

Answer 2

假设是x的k阶无穷小
lim(x->0)f(x)/x^k洛必达法则求导得
lim(x->0)(2/(1+x))sin[ln(1+x)^2]^2/kx^(k-1)
由于sin[ln(1+x)^2]^2~[ln(1+x)^2]^2
而[ln(1+x)^2]^2=4ln(1+x)ln(1+x)
ln(1+x)~x
所以分子可化为8x^2/(1+x)
这里用泰勒公式
(1+x)^(-1)=1-x+x^2-x^3+...+(-1)^nx^n
8x^2/(1+x)=8(x^2-x^3+x^4+...+(-1)^nx^n)=8x^2+o(x^2)
所以k-1=2时 极限为常数
所以为3阶无穷小

追问

题目错了。。是1+x² 不是（1+x）² 那按照上面的过程
原式=sin[ln(1+x^2)]^2 * 2x/(1+x^2) / kx^(k-1)
=？？？？

追答

那我从第四行开始改 前面的不管了
[sin[ln(1+x^2)]^2~[ln(1+x^2)]^2~x^4
分子为2x^5/(1+x^2)
泰勒公式得
(1+x^2)^(-1)=1-x^2+x^4-x^6+...+(-1)^nx^2n
2x^5/(1+x^2)=2(x^5-x^7....)=2x^5+o(x^5)
k-1=5 所以为6阶无穷小

追问

泰勒公式不是很懂 可不可以理解为 1+x² 当x→0时候 就等于1 ？ 其他都理顺了 谢谢

追答

这道题由于泰勒公式只需要开到1阶 所以可以直接理解为1