Question

证明:定义在对称区间(－l,l)上任意函数可表示为一个奇函数与一个偶函数的和。

Answer 1

证明：

设f(x)为定义在（-l，l）上的任意一个函数，令：h(x) =[f(x)+f(-x)]/2。

则h(-x)=[f(-x)+f(-(-x))]/2=[f(-x)+f(x)]/2= h(x)所以 h(x)为偶函数。

令：g(x) =[f(x)-f(-x)]/2g(-x)=[f(-x)-f(-(-x))]/2= -[f(x)-f(-x)]/2= -g(x)所以g(x)为奇函数。

而 f(x)=[f(x)+f(-x)]/2 + [f(x)-f(-x)]/2 =h(x)+g(x)。

所以f(x)可以表示为一个奇函数与一个偶函数的和。

扩展资料：

奇函数偶函数的运算法则：

(1) 两个偶函数相加所得的和为偶函数。

(2) 两个奇函数相加所得的和为奇函数。

(3) 一个偶函数与一个奇函数相加所得的和为非奇函数与非偶函数。

(4) 两个偶函数相乘所得的积为偶函数。

(5) 两个奇函数相乘所得的积为偶函数。

(6) 一个偶函数与一个奇函数相乘所得的积为奇函数。

Answer 2

证明：∵ 任意一个奇函数可表示为：[f(x)-f(-x)]/2，
任意一个偶函数可表示为：[(f(x)+f(-x)]/2，
∴ 对称区间(－l,l)上任意函数：f(x)=[f(x)-f(-x)]/2 + [f(x)+f(-x)]/2 即得证。

Answer 3

证明：设f(x)为定义在（-I，I）上的任意一个函数，令
h(x) =[f(x)+f(-x)]/2 '这里为什么要这样做,依据什么原理？
h(-x)=[f(-x)+f(-(-x))]/2=[f(-x)+f(x)]/2= h(x)
所以 h(x)为偶函数。
令 g(x) =[f(x)-f(-x)]/2
g(-x)=[f(-x)-f(-(-x))]/2= -[f(x)-f(-x)]/2= -g(x)
所以g(x)为奇函数。
而 f(x)=[f(x)+f(-x)]/2 + [f(x)-f(-x)]/2 =h(x)+g(x)
所以f(x)可以表示为一个奇函数与一个偶函数的和

Answer 4

如果命题成立 则不妨设f(x)= g(x)+k(x) (1)其中g(x)为奇函数,k(x)为偶函数
而f(-x)= g(-x)+k(-x)=-g(x)+k(x) (2)
由(1)(2)得 g(x)=[f(x)-f(-x)]/2 k(x)=[f(x)+f(-x)]/2
易证g(x)为奇函数,k(x)为偶函数
所以命题成立