Question

已知双曲线的中心在坐标原点。且1个焦点为 (根号7.o）。直线y=X—1 与其相交于M.N点。且MN的中点的横...

已知双曲线的中心在坐标原点。且1个焦点为 (根号7.o）。直线y=X—1
与其相交于M.N点。且MN的中点的横坐标为负的三分之二.求双曲线的方程(高中范围

Answer 1

焦点为 (根号7.o）。 c=√7
设双曲线标准方程为 x^2/a^2-y^2/b^2=1 a^2+b^2=7
M(x1,y1) N(x2,y2)

y=X—1 MN的中点的横坐标为负的三分之二
x=-2/3 y=-5/3 中点坐标(-2/3,-5/3)

M,N在双曲线上, 所以
x1^2/a^2-y1^2/b^2=1
x2^2/a^2-y2^2/b^2=1 相减
(x1-x2)(x1+x2)/a^2-(y1-y2)(y1+y2)/b^2=0
(y1-y2)/(x1-x2)=1 （直线斜率）
x1+x2=-4/3 y1+y2=-10/3
-4/3a^2+10/3b^2=0
10/3b^2=4/3a^2
2b^2=5a^2
a^2+b^2=7
a^2=2 b^2=5
双曲线的方程 x^2/2-y^2/5=1