Question

求解一道极坐标二重积分的题目

求在(x-1)^2+y^2=1 之内 在x^2+y^2=1 之外的面积

Answer 1

用极坐标：
x²+y²=1的极坐标方程为r=1
(x-1)²+y²=1，即x²+y²-2x=0，极坐标方程为：r=2cosθ
易求得两圆交点为(1/2，±√3/2)，因此所围区域的θ在[-π/3，π/3]
S=π∫[-π/3→π/3] (2cos²θ-1²) dθ
=2π∫[0→π/3] (2cos²θ-1) dθ
=2π∫[0→π/3] cos2θ dθ

=πsin2θ |[0→π/3]
=√3π/2

希望可以帮到你，不明白可以追问，如果解决了问题，请点下面的"选为满意回答"按钮，谢谢。

追问

请问是如何得到θ所在区域的

追答

原点与(1/2，±√3/2)的连线就是角度范围，否则求交点就没用了。

另外：昨天你100分的那道题，明显我用的截面法比那个人的方法简单多了，我的方法是正解。而且我早早就给了你正确答案。那个人的答案还没改对时，有个SB管理员就把他的答案选为推荐答案，那个管理员估计为了完任务没仔细看，你应该会仔细看啊，结果你也选择他，我太失望了。

所以那个题我把我的答案删了。

追问

不好意思 那道题我根本没看到你的答案 还有书上的答案是π/3+√3/2

追答

晕死，犯了这么个低级错误，面积公式写错了。
S=(1/2)∫[-π/3→π/3] (4cos²θ-1²) dθ

=∫[0→π/3] (4cos²θ-1) dθ
=∫[0→π/3] (2(1+cos2θ)-1) dθ
=∫[0→π/3] (1+2cos2θ) dθ
=(θ+sin2θ) |[0→π/3]
=π/3+√3/2

Answer 2

好难的题。