Question

高等数学 泰勒公式 展开项中 高阶无穷小问题 求高人解答！！谢谢！！！

比如说ln(1+x)=x-1/2x²+o(x²)
为什么后面会是o(x²)？
为什么展开到几次幂，后面的等价无穷小就是x几次幂的等价无穷小呢？

Answer 1

一般o(x)中的次数和前面项的最高次相等即可 但主要还要看分母k是多少 k阶无穷小概念是lim(x->0)A/B=c c为非零常数
泰勒公式要展开到几次要看底数x^k的k为多少
比如这道题lim(x->0)[ln(1+x)-x]/x^2
k=2 由于ln(1+x)/-x=-x^2/2+o(x^2)
除以x^2正好得-1/2+o(1)为非零常数 所以为2阶无穷小

除了在求像无穷小这种题目有分母k的大小做参照 其他应用的时候可以更随便一些
如sinx=x-x^3/3!++x^5/5!+o(x^5) 这里最后其实也可以写成o(x^6)也算对 因为sinx的泰勒公式没有x^6这一项 而且当n<m时o(x^n)+o(x^m)=o(x^n)这种计算公式 所以即使写成o(x^6) 如果后面还有另一个
式子分解成泰勒公式后是o(x^5) 对两式子求和运算的结果的无穷小的阶数没有影响

Answer 2

先弄懂符号o(x²)是什么意思：
o(x²)就意味着：limo(x²)/(x²)=0
ln(1+x)=x-1/2x²+(x²)(x/3-x²/4+.....)
由于lim(x²)(x/3-x²/4+.....)/x²=0
所以：(x²)(x/3-x²/4+.....)=o(x²)
ln(1+x)=x-1/2x²+o(x²)

Answer 3

后面是x的3次方，4次方，一直到n次方，肯定是x的2次方的高阶无究小量 建议你多看看定义