Question

变限积分求导问题，如图，第三个式子求导应该为？

Answer 1

f(x)=xsinx-(∫(0,x)(x-t)f(t))dt
=xsinx-(x∫(0,x)f(t))dt +∫(0,x)tf(t))dt
1.(xsinx)'=sinx+xcosx
2.{(x∫(0,x)f(t))dt}' (乘积的导数）
=∫(0,x)f(t))dt+x{∫(0,x)f(t))dt}' (积分上限x的导数等于被积函数的t换成x)
=∫(0,x)f(t))dt+xf(x)
3.{∫(0,x)tf(t))dt }'
=xf(x) (积分上限x的导数等于被积函数的t换成x)
所以：f‘(x)=sinx+xcosx-∫(0,x)f(t))dt-xf(x)+xf(x)
=sinx+xcosx-∫(0,x)f(t))dt

Answer 2

解：第三个式子求导为
(∫(0→x)(tf(t))dt )'=x*f(x) (这个属于对积分上限函数求导)
第二个式子求导为
-∫(0→x)f(t) dt - xf(x)
因此三个式子的求导就是上图的答案
有问题请追问。

追问

我知道第二个式子求导的方法，但是第三个式子的解答，能具体点吗，确实不懂是运用了什么

追答

和第二个式子中求∫(0→x)f(t) dt 的导数是一样的 都属于对积分上限函数求导
就直接把上限代入函数就行了。
∵∫(0→x)(tf(t)) dt 是xf(x)的原函数
根据定理对原函数求导就得到它本身。
即(∫(0→x)(tf(t)) dt )'=xf(x).

追问

不好意思，再请问下，第二个式子中，X作为定积分上限，在计算定积分时是某一个确定常数，所以可以放到积分符号外去，但是第三个式子中的t呢，有些不明白

追答

你好像没理解我的意思这个属于对积分上限函数求导
第二个式子求导属于f(x)g(x)求导类型
即(f(x)g(x))'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)
即(x∫(0→x)f(t) dt)'
=(x)'∫(0→x)f(t) dt +x(∫(0→x)f(t)dt)' (我想说的是你问的与第二个式子中(∫(0→x)f(t)dt)' 求导是一个类型的)
=∫(0→x)f(t) dt +xf(x)

Answer 3

红线部分导数为xf(x)

最后一个式子的导数为：
f''(x)=cosx-xsinx+cosx-f(x)

Answer 4

求导结果为
xf(x)

Answer 5

=xf(x)