Question

请教一个高中数学竞赛题，先谢谢了！

Answer 1

运用反证法即可，若不满足，则A首先要排除所有2的整数次幂，在这个范围内有10个，一次为2,4,8一直到1024.
4可以化成1+3，A中1,3不能同时存在
8可以化为1+7,3+5,A中1,7不能同时存在，3,5不能同时存在
16可以化为1+15,3+13,5+11,7+9,A中1,15不能同时存在，3,13不能同时存在，5,11不能同时存在，7,9不能同时存在，以此类推。
由推理过程可知，这个条件把这个集合分成了两个独立的部分1,5,9，13,。。。。依次下去
和3,7,11,15。。。依次下去，很容易知道这两个部分元素个数是相等的都为995个。
若A不满足条件，则只能从两个独立部分的一个里面取元素，只有这样才能保证A中不存在2的幂以及不存在两数之和为2的幂，此时可以知道card（A）<=995.
由题设可知card(A)>=1000与card（A)<=995相矛盾。
所以可以得到要么A中有一个数位2的幂，要么存在两数之和为2的幂。
公式不好输入，全是文字，希望你能理解。

追问

如果同时出现5和15呢？

追答

5+15并不是2的幂啊

Answer 2

抽屉原理。
构造抽屉{2000，48}；{1999，49}；……；{1025,1023}；
{47，17}；{46,18}；…… ；{33，31}；
{15，1}；{14，2}；…… ；{9，7}；
抽屉中两个数相加均为2的幂次；
1至2000中除去1024，32，16，8的数均在上面的抽屉中，而抽屉共有998个，由于card(A)>=1000，由抽屉原理知必有两数属于同一抽屉。
得证。

Answer 3

此题不会，毕业太久，不知如何作答~

Answer 4

反证法