Question

求解一道奥数题

称讲一个两位数的两个数字相乘交一次操作，所得的数叫这次操作的值，（若积为一位数，则把这个数写两遍）如对22的5此操作22——44——16——66——36——18，那么经过4次操作后值为88的数有几个，请写出来.

Answer 1

1、由于88=8×11，显然，他无法分解成两个十以内的数字的乘积（因为分解出来的两个数字，必有一个数字至少是11的1倍，从而大于10，或者换个角度说，9×9=81，大于81者都不可能分解成两个个位数的乘积）。所以，这个88不是直接由上一个数字的十位数和个位数相乘得来的，而只能是由上一个数字得出的8复写出来的。
由此我们可以得出第一步结论，若结果是88，则上一步的两个数字的乘积是8.
2、由于8可以分解成1×8，2×4，4×2，8×1，所以上一步的可能数字是18，24，42，81.
3、
1）、由于18=2×9或3×6或6×3或9×2，而29和92都无法分解成两个个位数的乘积（前者是素数，后者>81），而36可以分解为4×9或6×6，63可以分解为7×9或9×7，所以18对应的上一步数字是36或63.
2）、由于24=3×8或4×6或6×4或8×3，而38、46和83同上，无法分解，排除。所以24对应的上一步数字是64.
3）、由于42=6×7或7×6，同理，无法分解，排除。
4）、由于81=9×9，所以，81对应的上一步数字是99，无法分解，只可能是数字9
所以，这一步可能的数字是36、63、64、9
4、
1）、由于36=4×9或6×6或9×4，而66、94无法分解，排除，所以36对应的上一步数字是49.
2）、由于63=7×9或9×7，而79和97都无法分解，排除。
3）、由于64=8×8，所以上一步数字是88.
4）、由于9=1×9或3×3或9×1，而19、33、91都无法分解，排除。

所以，这一步可能的数字是49、88
5、
1）、由于49=7×7，所以上一步数字是77
2）、对于88而言，我们可以重复第2步的分析，可得上一步数字是18、24、42、81

综上，有五个数字满足要求，即18、24、42、77、81

说明，这是用穷举法倒推出来的，我不是很喜欢这么做，因为容易漏掉某些情况，怎么也不如总结出规律的演绎法做得让人放心。而且，我觉得这个题看着应该是有某种巧妙算法的。只是我想不出来而已。
期待能有真正好的解法。

检查的时候就发现，果然还是漏掉了。
第4步当中，36=6×6，虽然66无法分解，但是6是可以的，所以这一步多了个可能的数字是6，从而最后第5步当中，也漏掉了6分解出来的23和32。

所以目前就我想到的，是7个数字了，18、23、24、32、42、77、81

追问

,大哥，18操作四次后可是18——88——64——24……

Answer 2

由题意可以列出：(1)--(2)--(3)--88
可以将题目数列倒过来想：88--（3）--（2）--（1）

由题目规则可得（3）的尾数为8，
则（3）有可能为18、28、48、81.(因为其他尾数为8的不能由两个一位数相乘得到，所以舍弃）
所以：
88--18--36--49--77
--66--61（或16）
--66--23

88--18--29--无解

88--24--64--88--24
--81
--18

88--28--47--无解

88--48--68--无解

88--81--99--33--13
--31
88--81--99--19--无解

所以符合题意的我只找到77、16、61、23、32、24、42、81、18、13、31

Answer 3

88前18，24，42，81，前36，63，64，9前6，49，8，3前16，61，23，32，77，18，81，24，42，13，31

Answer 4

32 23 77 42 24 18 81 13 31 16 61
(16)61-66-36-18-88
(32)23-66-36-18-88
77-49-36-18-88
(42)24-88-64-24-88
(18)81-88-64-24-88
(13)31-33-99-81-88
这提比较好的还是枚举反推,也花不多少时间

Answer 5

有49,94,97，79,66,88

追问

我还想到了91,19,33……我要一个准确的

追答

1、由于88=8×11，显然，他无法分解成两个十以内的数字的乘积（因为分解出来的两个数字，必有一个数字至少是11的1倍，从而大于10，或者换个角度说，9×9=81，大于81者都不可能分解成两个个位数的乘积）。所以，这个88不是直接由上一个数字的十位数和个位数相乘得来的，而只能是由上一个数字得出的8复写出来的。
由此我们可以得出第一步结论，若结果是88，则上一步的两个数字的乘积是8.
2、由于8可以分解成1×8，2×4，4×2，8×1，所以上一步的可能数字是18，24，42，81.
3、
1）、由于18=2×9或3×6或6×3或9×2，而29和92都无法分解成两个个位数的乘积（前者是素数，后者>81），而36可以分解为4×9或6×6，63可以分解为7×9或9×7，所以18对应的上一步数字是36或63.
2）、由于24=3×8或4×6或6×4或8×3，而38、46和83同上，无法分解，排除。所以24对应的上一步数字是64.
3）、由于42=6×7或7×6，同理，无法分解，排除。
4）、由于81=9×9，所以，81对应的上一步数字是99，无法分解，只可能是数字9
所以，这一步可能的数字是36、63、64、9
4、
1）、由于36=4×9或6×6或9×4，而66、94无法分解，排除，所以36对应的上一步数字是49.
2）、由于63=7×9或9×7，而79和97都无法分解，排除。
3）、由于64=8×8，所以上一步数字是88.
4）、由于9=1×9或3×3或9×1，而19、33、91都无法分解，排除。

所以，这一步可能的数字是49、88
5、
1）、由于49=7×7，所以上一步数字是77
2）、对于88而言，我们可以重复第2步的分析，可得上一步数字是18、24、42、81

综上，有五个数字满足要求，即18、24、42、77、81

说明，这是用穷举法倒推出来的，我不是很喜欢这么做，因为容易漏掉某些情况，怎么也不如总结出规律的演绎法做得让人放心。而且，我觉得这个题看着应该是有某种巧妙算法的。只是我想不出来而已。
期待能有真正好的解法。

检查的时候就发现，果然还是漏掉了。
第4步当中，36=6×6，虽然66无法分解，但是6是可以的，所以这一步多了个可能的数字是6，从而最后第5步当中，也漏掉了6分解出来的23和32。

所以目前就我想到的，是7个数字了，18、23、24、32、42、77、81全准确