Question

二次函数难题。。高手进

为了参加市科技节展览，同学们制造了一个截面为抛物线形的隧道模型，用了三种正方形的钢筋支架，在画设计图时，如果在直角坐标系中，抛物线的函数解析式为y= -x²+c， 正方形 ABCD 的 边长和 正方形 EFGH 的边长之比为 2 ：1，求：（1）抛物线解析式中常数c的值；（2）正方形MNPQ的边长。

Answer 1

（1）观察各点坐标之间的关系，巧妙设点，减少未知量，由待定系数求出函数表达式，求出c的值；
（2）由题已知条件正方形ABCD的边长和正方形EFGH的边长之比为5：1，求出正方形MNPQ的边长．
解：（1）因各点坐标都关于y轴对称，可以设特殊点坐标．由抛物线的函数解析式为y=-x2+c，
∵AB=BC，
设AB=a，可设B（ a2，a），F（ a10，65a）代入y=-x2+c
得： {-a24+c=a-a2100+c=a
即 {a=56c=145144．
抛物线解析式中常数c的值为 145144．
（2）∵正方形ABCD的边长和正方形EFGH的边长之比为5：1，即FG= 15BC= a5，
∴F（ a10，a5+a）．
MN=NP=b，设N（ b2，b+65a），
∵a= 56，代入y=-x2+ 145144
∴b+ 1=-b24+145144（b＞1）
∴正方形MNPQ的边长b= -2+1456．

Answer 2

设正方形ABCD的边长为4a(a＞0)，则正方形EFGH的边长为2a
∴点B的坐标(2a，4a)，点G的坐标(a，4a)，点F的坐标(a，6a)
把B、F的坐标代入解析式得：
－4a^2＋c＝4a
－a^2＋c＝6a
解得：a＝2/3，c＝40/9

设正方形MNPQ的边长为2b(b＞0)，则
点P的坐标(b，4)，点N的坐标(b，2b＋4)
将N点坐标代入二次函数解析式得：
－b^2＋40/9＝2b＋4
解得：b＝(√13－3)/3
从而正方形MNPQ的边长为2(√13－3)/3