Question

求和 S=1+(1+2)+(1+2+3)+(1+2+3+4)+...+(1+2+3+...+n)

Answer 1

1=(1+1)1/2
1+2=(1+2)2/2
1+2+3=(1+3)3/2
1+2+3+4=(1+3)3/2
1+2+3+...+n=(1+n)n/2
题目转化为求数列{(1+n)n/2}的前n项和
而(1+n)n/2=n/2+n²/2
所以
S=1+(1+2)+(1+2+3)+(1+2+3+4)+...+(1+2+3+...+n)
=1/2+1²/2+2/2+2²/2+3/2+3²/2+…+n/2+n²/2
=(1+2+3+…+n)/2+(1²+2²+3²+…+n²)/2
=(1+n)n/4+n(n+1)(2n+1)/12
=n(n+1)(2n+4)/12
=n(n+1)(n+2)/6

Answer 2

括号里的看成数列的一项，那么通项公式为n*（n+1）/2=（n²+n）/2
a1=（1²+1）/2
a2=（2²+2）/2
a3=（3²+3）/2
：：：：：：
an=（n²+n）/2
全部叠加
sn=[(1²+2²+3²+。。。+n²）+（1+2+3+。。。+n）]/2 因为 1²+2²+3²+。。。+n²=n(n+1)(2n+1)/6
原式=[n(n+1)(2n+1)/6+(n+1)n/2]/2=n（n+1）（n+2）/6

追问

平方和公式怎么证明呢？