Question

关于——数学分析——实数——证明 《微积分学教程》的一道题，请教各位高手

定理：对于不论怎样的两个实数a及b,其中a>b,恒有一个位于它们中间的有理数r:a>r>b，并且这种有理数有无穷个。

证明 ：设给定两个实数a和b。如果任取一个数e>0,数a及b都能位于同一有理数s与s1之间： s1>a>s, s1>b>s,
这对数的差小于e： s1-s<e,
则数a与b必须相等。

这是书上的证明：
反证法证明。设a>b，依据前提上面的定理，在a与b之间可以插入两个有理数r及r1>r： a>r1>r>b.
于是对于任何二数s及s1，当a及b都在它们之间时，显然成立如下等式
s1>r1>r>s， 由此 s1-s>r1-r>0，
因此差s1-s，比如不能小于数e=r1-r，违背题目条件。此处矛盾即得证。

我想这样证明：
反证法证明。设a>b，根据条件可得： s1>a>b>s
可推得： s1-s>a-b>0,
因此差s1-s，比如不能小于数e=a-b，违背题目条件。此处矛盾即得证。

请教我的逻辑哪里出了问题，求助！

Answer 1

你的证明也是没问题的。
两个证明只有一个区别：书上的证明中取e是有理数，而你的证明中
e不一定是有理数而已。因此需要看题目当中对e的要求。
题目中的e必须是有理数，那只能按书上的证明；
不需要e是有理数，你的证明就可以。